$a$ を正の定数として、関数 $f(x) = x - a \log(x^3 + 1)$ が与えられている。 (1) 関数 $f(x)$ の定義域を求める。 (2) 導関数 $f'(x)$ を求める。 (3) $f(x)$ がただ1つの極値を持つとき、$a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数として、関数 $f(x) = x - a \log(x^3 + 1)$ が与えられている。

(1) 関数 $f(x)$ の定義域を求める。

(2) 導関数 $f'(x)$ を求める。

(3) $f(x)$ がただ1つの極値を持つとき、$a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = x - a \log(x^3 + 1)$ の定義域を求める。対数関数 $\log(u)$ が定義されるためには、$u > 0$ である必要がある。したがって、$x^3 + 1 > 0$ を満たす $x$ の範囲を求める。

$x^3 + 1 > 0$

$x^3 > -1$

$x > -1$

よって、$f(x)$ の定義域は $x > -1$ である。

(2) 導関数 $f'(x)$ を求める。

$f(x) = x - a \log(x^3 + 1)$ を微分する。

$f'(x) = \frac{d}{dx} (x - a \log(x^3 + 1))$

$f'(x) = 1 - a \cdot \frac{1}{x^3 + 1} \cdot \frac{d}{dx} (x^3 + 1)$

$f'(x) = 1 - a \cdot \frac{1}{x^3 + 1} \cdot 3x^2$

$f'(x) = 1 - \frac{3ax^2}{x^3 + 1}$

(3) $f(x)$ がただ1つの極値を持つとき、$a$ の値の範囲を求める。

$f'(x) = 0$ となる $x$ がただ1つ存在し、その前後で $f'(x)$ の符号が変化すればよい。

$f'(x) = 1 - \frac{3ax^2}{x^3 + 1} = 0$ より、

$1 = \frac{3ax^2}{x^3 + 1}$

$x^3 + 1 = 3ax^2$

$x^3 - 3ax^2 + 1 = 0$

この3次方程式が $x > -1$ の範囲でただ1つの実数解を持ち、その前後で符号が変わる必要がある。

$g(x) = x^3 - 3ax^2 + 1$ とおくと、$g(-1) = -1 - 3a + 1 = -3a < 0$ （なぜなら $a > 0$ より）。

$g(x)$ が $x > -1$ でただ1つの解を持つ条件を考える。

$g'(x) = 3x^2 - 6ax = 3x(x - 2a)$

$g'(x) = 0$ となるのは $x = 0$ または $x = 2a$ のとき。$a > 0$ より $2a > 0$ であり、定義域内にある。

$g(0) = 1 > 0$ である。

$g(x)$ は $x=0$ で極大、$x=2a$ で極小となる。

$g(2a) = (2a)^3 - 3a(2a)^2 + 1 = 8a^3 - 12a^3 + 1 = -4a^3 + 1$

$g(x)$ が $x > -1$ でただ1つの解を持つには、$g(2a) < 0$ でなければならない。なぜなら $x=0$ で $g(0) = 1 >0$ だから、$x=2a$で下に突き抜ける必要がある。

$-4a^3 + 1 < 0$

$4a^3 > 1$

$a^3 > \frac{1}{4}$

$a > \sqrt[3]{\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

3. 最終的な答え

(1) 定義域: $x > -1$

(2) 導関数: $f'(x) = 1 - \frac{3ax^2}{x^3 + 1}$

(3) $a$ の範囲: $a > \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$