次の和を求めます。 $\frac{1}{1\cdot6} + \frac{1}{6\cdot11} + \frac{1}{11\cdot16} + \dots + \frac{1}{(5n-4)(5n+1)}$

1. 問題の内容

次の和を求めます。

$\frac{1}{1\cdot6} + \frac{1}{6\cdot11} + \frac{1}{11\cdot16} + \dots + \frac{1}{(5n-4)(5n+1)}$

2. 解き方の手順

この和は、部分分数分解を用いて解くことができます。一般項を部分分数に分解します。

$\frac{1}{(5k-4)(5k+1)} = \frac{A}{5k-4} + \frac{B}{5k+1}$

両辺に $(5k-4)(5k+1)$ を掛けると、

$1 = A(5k+1) + B(5k-4)$

$1 = (5A+5B)k + (A-4B)$

係数比較により、

$5A+5B = 0$

$A-4B = 1$

一つ目の式から $A = -B$ を得ます。これを二つ目の式に代入すると、

$-B-4B = 1$

$-5B = 1$

$B = -\frac{1}{5}$

したがって、$A = \frac{1}{5}$ となります。

よって、一般項は以下のように分解できます。

$\frac{1}{(5k-4)(5k+1)} = \frac{1}{5}\left(\frac{1}{5k-4} - \frac{1}{5k+1}\right)$

この結果を用いて、与えられた和を書き換えます。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(5k-4)(5k+1)} = \frac{1}{5} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{5k-4} - \frac{1}{5k+1}\right)$

これは、以下のような telescoping sum になります。

$\frac{1}{5} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{6}\right) + \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{11}\right) + \left(\frac{1}{11} - \frac{1}{16}\right) + \dots + \left(\frac{1}{5n-4} - \frac{1}{5n+1}\right) \right]$

この和は、最初の項と最後の項を除いて相殺されます。

したがって、

$\frac{1}{5} \left(1 - \frac{1}{5n+1}\right) = \frac{1}{5} \left(\frac{5n+1-1}{5n+1}\right) = \frac{1}{5} \left(\frac{5n}{5n+1}\right) = \frac{n}{5n+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{n}{5n+1}$