放物線 $y = -2x^2 + 3x + 1$ を平行移動したものが、2点 $(-2, 0)$ と $(1, 12)$ を通るとき、その放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = -2x^2 + 3x + 1$ を平行移動したものが、2点 $(-2, 0)$ と $(1, 12)$ を通るとき、その放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

平行移動した放物線の方程式を $y = -2(x-p)^2 + 3(x-p) + 1 + q$ とおく。

これは $y = -2x^2 + 3x + 1$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したものである。

$y = -2x^2 + 3x + 1$ を平行移動したグラフが点 $(-2, 0)$ を通るので、

$0 = -2(-2)^2 + 3(-2) + 1 + q + 3p - 2p^2$

$0 = -2(4) - 6 + 1 + q + 3p - 2p^2$

$0 = -8 - 6 + 1 + q + 3p - 2p^2$

$0 = -13 + q + 3p - 2p^2$

$q = 2p^2 - 3p + 13$ ...(1)

また、平行移動したグラフが点 $(1, 12)$ を通るので、

$12 = -2(1)^2 + 3(1) + 1 + q + 3p - 2p^2$

$12 = -2 + 3 + 1 + q + 3p - 2p^2$

$12 = 2 + q + 3p - 2p^2$

$10 = q + 3p - 2p^2$

$q = 2p^2 - 3p + 10$ ...(2)

(1) と (2) より、

$2p^2 - 3p + 13 = 2p^2 - 3p + 10$

$13 = 10$

これは矛盾しているため、

平行移動の方程式を以下のように設定し直す。

$y = -2(x-p)^2 + 3(x-p) + 1 + q$ は間違い。

平行移動した放物線の方程式を $y = -2(x-p)^2 + 3(x-p) + 1 + q$とおいたのが間違い。

放物線の式を $y = -2x^2 + bx + c$ とおく。

これが $(-2, 0)$ と $(1, 12)$ を通るので、

$0 = -2(-2)^2 + b(-2) + c = -8 - 2b + c$

$12 = -2(1)^2 + b(1) + c = -2 + b + c$

よって、

$-2b + c = 8$ ...(1)

$b + c = 14$ ...(2)

(2) - (1) より、

$3b = 6$

$b = 2$

(2) に代入して、

$2 + c = 14$

$c = 12$

よって求める放物線の方程式は $y = -2x^2 + 2x + 12$

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 + 2x + 12$