与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は、$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は、$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$ で表されます。

2. 解き方の手順

この和を求めるために、以下の手順で計算を行います。

1. $S$ を書き下します。

2. $2S$ を書き下します。$S$ の各項に2をかけたものです。

3. $S - 2S$ を計算します。これにより、等比数列の和の形が現れます。

4. 等比数列の和の公式を使って、$S - 2S$ を簡略化します。

5. $S$ について解きます。

まず、$S$ を書き下します。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

次に、$2S$ を書き下します。

$2S = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n}$

$S - 2S$ を計算します。

$S - 2S = 1 + (3-1)2 + (5-3)2^2 + \dots + (2n-1 - (2n-3))2^{n-1} - (2n-1)2^n$

$-S = 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + 2 \cdot 2^{n-1} - (2n-1)2^n$

$-S = 1 + 2(2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}) - (2n-1)2^n$

括弧の中は等比数列の和なので、公式を使って簡略化します。

$2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^n - 2$

したがって、

$-S = 1 + 2(2^n - 2) - (2n-1)2^n$

$-S = 1 + 2^{n+1} - 4 - (2n-1)2^n$

$-S = 2^{n+1} - 3 - 2n \cdot 2^n + 2^n$

$-S = 2 \cdot 2^n + 2^n - 2n \cdot 2^n - 3$

$-S = (3-2n)2^n - 3$

$S$ について解きます。

$S = (2n-3)2^n + 3$

3. 最終的な答え

$S = (2n-3)2^n + 3$