公比が正である等比数列 $\{a_n\}$ が、$a_2 = 3$ および $a_1a_2a_3a_4 = 324$ を満たすとき、以下の問いに答える。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。 (2) $a_3 + a_6 + a_9 + \cdots + a_{3n}$ を $n$ の式で表せ。

1. 問題の内容

公比が正である等比数列 $\{a_n\}$ が、$a_2 = 3$ および $a_1a_2a_3a_4 = 324$ を満たすとき、以下の問いに答える。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

(2) $a_3 + a_6 + a_9 + \cdots + a_{3n}$ を $n$ の式で表せ。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の一般項を $a_n = ar^{n-1}$ とおく ($a$ は初項, $r$ は公比)。

$a_2 = 3$ より、

$ar = 3$

$a_1a_2a_3a_4 = 324$ より、

$a \cdot ar \cdot ar^2 \cdot ar^3 = 324$

$a^4r^6 = 324$

$(a^2r^3)^2 = 324$

$a^2r^3 = \pm 18$

$a^2r^2 \cdot r = \pm 18$

$(ar)^2 \cdot r = \pm 18$

$3^2 \cdot r = \pm 18$

$9r = \pm 18$

$r = \pm 2$

公比は正であるから、$r=2$。

$ar = 3$ より、 $a \cdot 2 = 3$ なので、$a = \frac{3}{2}$。

したがって、$a_n = \frac{3}{2} \cdot 2^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-2}$

(2) $a_3 + a_6 + a_9 + \cdots + a_{3n}$ を求める。

この数列は、初項 $a_3 = 3 \cdot 2^{3-2} = 3 \cdot 2 = 6$、公比 $2^3 = 8$、項数 $n$ の等比数列の和である。

したがって、求める和は

$S_n = \frac{6(8^n - 1)}{8 - 1} = \frac{6(8^n - 1)}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3 \cdot 2^{n-2}$

(2) $a_3 + a_6 + a_9 + \cdots + a_{3n} = \frac{6(8^n - 1)}{7}$