11で割ると2余り、8で割ると7余る整数のうち、1000に最も近いものを求める。

1. 問題の内容

11で割ると2余り、8で割ると7余る整数のうち、1000に最も近いものを求める。

2. 解き方の手順

求める整数を $x$ とする。

問題文より、以下の合同式が成り立つ。

$x \equiv 2 \pmod{11}$

$x \equiv 7 \pmod{8}$

1つ目の式より、$x = 11k + 2$ （$k$は整数）と表せる。

これを2つ目の式に代入すると、

$11k + 2 \equiv 7 \pmod{8}$

$3k \equiv 5 \pmod{8}$

両辺に3をかけると、

$9k \equiv 15 \pmod{8}$

$k \equiv 7 \pmod{8}$

したがって、$k = 8l + 7$ （$l$は整数）と表せる。

これを$x = 11k + 2$ に代入すると、

$x = 11(8l + 7) + 2$

$x = 88l + 77 + 2$

$x = 88l + 79$

よって、求める整数は $88l + 79$ （$l$は整数）と表せる。

このうち1000に最も近いものを探す。

$88l + 79 \approx 1000$ より、

$88l \approx 921$

$l \approx \frac{921}{88} \approx 10.46$

$l = 10$ のとき、$x = 88 \times 10 + 79 = 880 + 79 = 959$

$l = 11$ のとき、$x = 88 \times 11 + 79 = 968 + 79 = 1047$

$|959 - 1000| = 41$

$|1047 - 1000| = 47$

したがって、1000に最も近い整数は959である。

3. 最終的な答え

959