以下の3つの定積分を計算します。 (1) $\int_{0}^{2} |x-1| dx$ (2) $\int_{-1}^{3} |x^2-4| dx$ (3) $\int_{-1}^{1} (3x^2 - |x| + 1) dx$

はい、承知いたしました。定積分の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の3つの定積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{2} |x-1| dx$

(2) $\int_{-1}^{3} |x^2-4| dx$

(3) $\int_{-1}^{1} (3x^2 - |x| + 1) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{2} |x-1| dx$ の計算

絶対値を外すために積分区間を分割します。

$x-1 = 0$ となるのは $x=1$ のときなので、積分区間を $[0, 1]$ と $[1, 2]$ に分けます。

$\int_{0}^{2} |x-1| dx = \int_{0}^{1} (1-x) dx + \int_{1}^{2} (x-1) dx$

$\int_{0}^{1} (1-x) dx = [x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{2} - (0 - 0) = \frac{1}{2}$

$\int_{1}^{2} (x-1) dx = [\frac{x^2}{2} - x]_{1}^{2} = (\frac{4}{2} - 2) - (\frac{1}{2} - 1) = (2 - 2) - (\frac{1}{2} - 1) = 0 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

したがって、

$\int_{0}^{2} |x-1| dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

(2) $\int_{-1}^{3} |x^2-4| dx$ の計算

$x^2-4 = 0$ となるのは $x = \pm 2$ のときなので、積分区間を $[-1, 2]$ と $[2, 3]$ に分けます。

$\int_{-1}^{3} |x^2-4| dx = \int_{-1}^{2} (4-x^2) dx + \int_{2}^{3} (x^2-4) dx$

$\int_{-1}^{2} (4-x^2) dx = [4x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{2} = (8 - \frac{8}{3}) - (-4 + \frac{1}{3}) = 8 - \frac{8}{3} + 4 - \frac{1}{3} = 12 - \frac{9}{3} = 12 - 3 = 9$

$\int_{2}^{3} (x^2-4) dx = [\frac{x^3}{3} - 4x]_{2}^{3} = (\frac{27}{3} - 12) - (\frac{8}{3} - 8) = (9 - 12) - (\frac{8}{3} - 8) = -3 - (\frac{8}{3} - \frac{24}{3}) = -3 - (-\frac{16}{3}) = -3 + \frac{16}{3} = -\frac{9}{3} + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}$

したがって、

$\int_{-1}^{3} |x^2-4| dx = 9 + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} + \frac{7}{3} = \frac{34}{3}$

(3) $\int_{-1}^{1} (3x^2 - |x| + 1) dx$ の計算

絶対値を外すために積分区間を分割します。

$|x| = x$ if $x \geq 0$, and $|x| = -x$ if $x < 0$.

$\int_{-1}^{1} (3x^2 - |x| + 1) dx = \int_{-1}^{0} (3x^2 + x + 1) dx + \int_{0}^{1} (3x^2 - x + 1) dx$

$\int_{-1}^{0} (3x^2 + x + 1) dx = [x^3 + \frac{x^2}{2} + x]_{-1}^{0} = (0 + 0 + 0) - (-1 + \frac{1}{2} - 1) = 0 - (-\frac{3}{2} + \frac{1}{2}) = 0 - (-1) = 1$

$\int_{0}^{1} (3x^2 - x + 1) dx = [x^3 - \frac{x^2}{2} + x]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{2} + 1) - (0 - 0 + 0) = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

したがって、

$\int_{-1}^{1} (3x^2 - |x| + 1) dx = 1 + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{34}{3}$

(3) $\frac{5}{2}$