自然数の列を、第 $n$ 群が $2^{n-1}$ 個の要素を持つように群に分ける。 (1) 第 $n$ 群の最初の自然数を求める。 (2) 500が第何群の第何項かを求める。 (3) 第 $n$ 群にあるすべての自然数の和を求める。

1. 問題の内容

自然数の列を、第 $n$ 群が $2^{n-1}$ 個の要素を持つように群に分ける。

(1) 第 $n$ 群の最初の自然数を求める。

(2) 500が第何群の第何項かを求める。

(3) 第 $n$ 群にあるすべての自然数の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の自然数を求める。

第 $n$ 群の最初の項は、第 $n-1$ 群までの項数に1を加えたものに等しい。

第 $k$ 群の項数は $2^{k-1}$ であるから、第 $n-1$ 群までの項数の合計は、

$$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-2} = \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$$

したがって、第 $n$ 群の最初の自然数は $2^{n-1} - 1 + 1 = 2^{n-1}$ となる。

(2) 500が第何群の第何項かを求める。

まず、500が第何群に含まれるかを調べる。

第 $n$ 群までの項数の合計は、

$$\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} = 2^n - 1$$

$2^8 - 1 = 255$であり、$2^9 - 1 = 511$であるから、500は第9群に含まれる。

第8群までの項数は255であるから、500は第9群の $500 - 255 = 245$ 番目の項である。

(3) 第 $n$ 群にあるすべての自然数の和を求める。

第 $n$ 群の最初の項は $2^{n-1}$ であり、第 $n$ 群の項数は $2^{n-1}$ である。

したがって、第 $n$ 群の最後の項は $2^{n-1} + 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1$ である。

第 $n$ 群の和は、初項 $2^{n-1}$、末項 $2^n - 1$、項数 $2^{n-1}$ の等差数列の和であるから、

$$\frac{2^{n-1}}{2} (2^{n-1} + 2^n - 1) = 2^{n-2} (2^{n-1} + 2^n - 1) = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$$

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の自然数：$2^{n-1}$

(2) 500は第何群の第何項か：第9群の第245項

(3) 第 $n$ 群にあるすべての自然数の和：$3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$