サイコロを1回投げて1が出る確率は$\frac{1}{6}$、1が出ない確率は$\frac{5}{6}$である。サイコロを3回投げて、1の目がちょうど2回出る確率を求めよ。

1. 問題の内容

サイコロを1回投げて1が出る確率は$\frac{1}{6}$、1が出ない確率は$\frac{5}{6}$である。サイコロを3回投げて、1の目がちょうど2回出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

3回サイコロを投げて1の目が2回出る確率は、二項分布に従う。

3回のうち2回が1の目である確率を計算する。

まず、1の目が2回出て、1以外の目が1回出る場合の数を考える。

これは、3回のうちどの2回で1が出るかを選ぶ組み合わせの数であり、$_3C_2 = 3$通りである。

それぞれの組み合わせの確率は、1の目が2回出て1以外の目が1回出る確率を計算することで求められる。

1の目が2回出る確率は$\left(\frac{1}{6}\right)^2$であり、1以外の目が1回出る確率は$\frac{5}{6}$である。

したがって、1の目が2回出て1以外の目が1回出る確率は、$\left(\frac{1}{6}\right)^2 \times \frac{5}{6}$となる。

求める確率は、これらの組み合わせの数とそれぞれの確率を掛け合わせたものである。

したがって、確率は

$3 \times \left(\frac{1}{6}\right)^2 \times \frac{5}{6} = 3 \times \frac{1}{36} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}$となる。

3. 最終的な答え

$\frac{5}{72}$