1つのサイコロを4回投げたとき、5の目がちょうど3回出る確率を求める問題です。

1. 問題の内容

1つのサイコロを4回投げたとき、5の目がちょうど3回出る確率を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、反復試行の確率の問題として解くことができます。

* **1回の試行における確率**: サイコロを1回振って5の目が出る確率は $\frac{1}{6}$です。5の目が出ない確率は $\frac{5}{6}$です。

* **反復試行の確率の公式**: $n$回の試行で、ある事象がちょうど$k$回起こる確率は、以下の式で表されます。

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P(k) = {}_n C_k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

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ここで、${}_n C_k$は二項係数（組み合わせ）で、$n$個の中から$k$個を選ぶ場合の数を表します。$p$は1回の試行でその事象が起こる確率、$n$は試行回数、$k$はその事象が起こる回数です。

* **問題への適用**: この問題では、$n=4$ (サイコロを振る回数)、$k=3$ (5の目が出る回数)、そして$p=\frac{1}{6}$ (1回サイコロを振って5の目が出る確率) です。

したがって、求める確率は

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P(3) = {}_4 C_3 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4-3}

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${}_4 C_3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times 1} = 4$ なので、

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P(3) = 4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^1

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P(3) = 4 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{5}{6}

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P(3) = \frac{20}{1296} = \frac{5}{324}

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3. 最終的な答え

$\frac{5}{324}$