(1) $a, b$が有理数のとき、$\sqrt{2}a + \sqrt{5}b = 0$ならば$a = b = 0$を証明せよ。ただし、$ \sqrt{10} $が無理数であることを用いる。 (2) $(2\sqrt{2} + 3\sqrt{5})p + (\sqrt{2} - \sqrt{5})q - \sqrt{2} - 4\sqrt{5} = 0$を満たす有理数$p, q$の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $a, b$が有理数のとき、$\sqrt{2}a + \sqrt{5}b = 0$ならば$a = b = 0$を証明せよ。ただし、$\sqrt{10}$が無理数であることを用いる。

(2) $(2\sqrt{2} + 3\sqrt{5})p + (\sqrt{2} - \sqrt{5})q - \sqrt{2} - 4\sqrt{5} = 0$を満たす有理数$p, q$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{2}a + \sqrt{5}b = 0$を変形して$\sqrt{5} = -\frac{\sqrt{2}a}{b}$を得る。もし$a \ne 0$かつ$b \ne 0$ならば、$\sqrt{5} = -\frac{\sqrt{2}a}{b}$は有理数となるので矛盾する。

もし$b \ne 0$ならば、$\sqrt{5}=-\frac{a}{b}\sqrt{2}$となる。両辺を2乗して、$5 = \frac{a^2}{b^2} \times 2$。 よって、$\frac{5}{2} = \frac{a^2}{b^2}$。両辺に$b^2$をかけて$5b^2 = 2a^2$となる。

さらに、$a \ne 0$とすると、 $\sqrt{10} = \sqrt{2}*\sqrt{5} = \sqrt{2} * (-\frac{a}{b}\sqrt{2}) = -\frac{2a}{b}$ となり、$\sqrt{10}$が有理数となり矛盾する。

したがって$a = 0$となる。

$\sqrt{2}a + \sqrt{5}b = 0$に$a = 0$を代入すると、$\sqrt{5}b = 0$となる。$\sqrt{5}$は無理数であるから、$b = 0$となる。

以上より、$a=b=0$である。

(2) $(2\sqrt{2} + 3\sqrt{5})p + (\sqrt{2} - \sqrt{5})q - \sqrt{2} - 4\sqrt{5} = 0$を変形する。

$(2p + q - 1)\sqrt{2} + (3p - q - 4)\sqrt{5} = 0$

$p, q$が有理数であるから、$2p + q - 1$と$3p - q - 4$も有理数である。

(1)の結果から、$2p + q - 1 = 0$かつ$3p - q - 4 = 0$である。

$2p + q - 1 = 0$と$3p - q - 4 = 0$の連立方程式を解く。

$2p + q = 1$

$3p - q = 4$

2つの式を足し合わせると、$5p = 5$より、$p = 1$

$2(1) + q = 1$より、$q = -1$

3. 最終的な答え

(1) $a=b=0$

(2) $p = 1, q = -1$