公比が実数である等比数列 $\{a_n\}$ が、$a_2 = 10$、$a_5 = 80$ を満たしている。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。 (2) $a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n$ を $n$ の式で表せ。 (3) $a_3 + a_6 + a_9 + \dots + a_{3n}$ を $n$ の式で表せ。

1. 問題の内容

公比が実数である等比数列 $\{a_n\}$ が、$a_2 = 10$、$a_5 = 80$ を満たしている。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

(2) $a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n$ を $n$ の式で表せ。

(3) $a_3 + a_6 + a_9 + \dots + a_{3n}$ を $n$ の式で表せ。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の一般項を $a_n = ar^{n-1}$ とする。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比である。

$a_2 = ar = 10$

$a_5 = ar^4 = 80$

これらの式より、$\frac{ar^4}{ar} = \frac{80}{10}$

$r^3 = 8$

$r = 2$ (公比が実数であるため)

$ar = 10$ に $r = 2$ を代入して、$2a = 10$ より $a = 5$。

よって、一般項は $a_n = 5 \cdot 2^{n-1}$。

(2) 等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ を用いる。

$a_1 = 5$, $r = 2$ であるから、

$a_1 + a_2 + \dots + a_n = \frac{5(2^n - 1)}{2 - 1} = 5(2^n - 1)$。

(3) $a_3, a_6, a_9, \dots, a_{3n}$ は、初項 $a_3 = ar^2 = 5 \cdot 2^2 = 20$、公比 $r^3 = 2^3 = 8$ の等比数列である。項数は $n$ であるから、その和は

$S = \frac{20(8^n - 1)}{8 - 1} = \frac{20(8^n - 1)}{7}$。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 5 \cdot 2^{n-1}$

(2) $a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = 5(2^n - 1)$

(3) $a_3 + a_6 + a_9 + \dots + a_{3n} = \frac{20(8^n - 1)}{7}$