1枚の硬貨を6回続けて投げるとき、表がちょうど5回出る確率を求めよ。

1. 問題の内容

1枚の硬貨を6回続けて投げるとき、表がちょうど5回出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は二項確率の問題として解くことができます。硬貨を投げる試行は独立であり、各試行における表の出る確率は $p = \frac{1}{2}$、裏の出る確率は $q = 1-p = \frac{1}{2}$ です。6回の試行で表がちょうど5回出る確率は、二項分布の確率質量関数を用いて計算できます。

二項分布の確率質量関数は次の式で表されます。

$P(X=k) = {}_n C_k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

ここで、

* $n$ は試行回数（この場合は6回）

* $k$ は成功回数（この場合は5回）

* $p$ は1回の試行で成功する確率（この場合は表が出る確率 $\frac{1}{2}$）

* ${}_n C_k$ は二項係数で、$n$ 個から $k$ 個を選ぶ組み合わせの数

したがって、表がちょうど5回出る確率は、

$P(X=5) = {}_6 C_5 \cdot (\frac{1}{2})^5 \cdot (\frac{1}{2})^{6-5}$

${}_6 C_5$ を計算します。

${}_6 C_5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5!1!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)(1)} = 6$

したがって、求める確率は、

$P(X=5) = 6 \cdot (\frac{1}{2})^5 \cdot (\frac{1}{2})^1 = 6 \cdot (\frac{1}{2})^6 = 6 \cdot \frac{1}{64} = \frac{6}{64} = \frac{3}{32}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{32}$