直角三角形ABCにおいて、直角を挟む2辺AB, BCの長さの和が14cmであるとき、この直角三角形の面積の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、直角を挟む2辺AB, BCの長さの和が14cmであるとき、この直角三角形の面積の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

ABの長さを$x$ cmとすると、BCの長さは$(14-x)$ cmとなる。

三角形の面積を$S$とすると、

$$S = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2}x(14-x)$$

$$S = \frac{1}{2}(14x - x^2) = -\frac{1}{2}x^2 + 7x$$

$S$を最大にする$x$の値を求める。$S$は$x$の二次関数なので、平方完成すると最大値を求めることができる。

$$S = -\frac{1}{2}(x^2 - 14x)$$

$$S = -\frac{1}{2}(x^2 - 14x + 49 - 49)$$

$$S = -\frac{1}{2}((x - 7)^2 - 49)$$

$$S = -\frac{1}{2}(x - 7)^2 + \frac{49}{2}$$

$S$が最大となるのは、$x = 7$のときで、最大値は$\frac{49}{2}$となる。

また、$x$は長さなので、$x>0$かつ$14-x>0$より、$0 < x < 14$である。したがって、$x=7$はこの範囲に含まれるので問題ない。

3. 最終的な答え

$\frac{49}{2} \text{ cm}^2$