(1) $a, b$ が有理数のとき、$\sqrt{2}a + \sqrt{5}b = 0$ ならば $a = b = 0$ であることを証明する。 (2) $(2\sqrt{2} + 3\sqrt{5})p + (\sqrt{2} - \sqrt{5})q - \sqrt{2} - 4\sqrt{5} = 0$ を満たす有理数 $p, q$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $a, b$ が有理数のとき、$\sqrt{2}a + \sqrt{5}b = 0$ ならば $a = b = 0$ であることを証明する。

(2) $(2\sqrt{2} + 3\sqrt{5})p + (\sqrt{2} - \sqrt{5})q - \sqrt{2} - 4\sqrt{5} = 0$ を満たす有理数 $p, q$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{2}a + \sqrt{5}b = 0$ より、$\sqrt{2}a = -\sqrt{5}b$ である。

両辺を2乗すると、

$2a^2 = 5b^2$

したがって、$2a^2 - 5b^2 = 0$

もし、$a \neq 0$ とすると、$a^2 \neq 0$ なので、

$2 = 5\frac{b^2}{a^2}$

$\frac{b^2}{a^2} = \frac{2}{5}$

$\frac{b}{a} = \pm\sqrt{\frac{2}{5}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{5}$

$a, b$ は有理数であるから、$\frac{b}{a}$ は有理数となるはずだが、$\pm\frac{\sqrt{10}}{5}$ は無理数である。これは矛盾。

したがって、$a = 0$ である。

$a = 0$ を $2a^2 = 5b^2$ に代入すると、$0 = 5b^2$ より、$b^2 = 0$ となるので、$b = 0$ である。

よって、$a = b = 0$ が示された。

(2) 与えられた式を変形する。

$(2\sqrt{2} + 3\sqrt{5})p + (\sqrt{2} - \sqrt{5})q - \sqrt{2} - 4\sqrt{5} = 0$

$\sqrt{2}(2p + q - 1) + \sqrt{5}(3p - q - 4) = 0$

$2p + q - 1 = A, 3p - q - 4 = B$ とおくと、$\sqrt{2}A + \sqrt{5}B = 0$ となる。

(1)の結果より、$A = B = 0$ であるから、

$2p + q - 1 = 0$

$3p - q - 4 = 0$

この連立方程式を解く。

$2p + q = 1$

$3p - q = 4$

2つの式を足し合わせると、$5p = 5$ より、$p = 1$

$q = 1 - 2p = 1 - 2(1) = -1$

したがって、$p = 1, q = -1$

3. 最終的な答え

(1) $a = b = 0$

(2) $p = 1, q = -1$