ある商品Aは、売り値が60円のとき1日に400個売れる。売り値を60円から1円値上げするごとに、1日に売れる個数が5個ずつ減少する。商品Aの売り値を60円以上として、1日の売り上げ高が最大になる売り値を求める問題です。売り値を60円から$x$円値上げしたときの1日の売り上げ高を$y$円とするとき、$y$を最大にする$x$を求め、その時の売り値を求める。

1. 問題の内容

ある商品Aは、売り値が60円のとき1日に400個売れる。売り値を60円から1円値上げするごとに、1日に売れる個数が5個ずつ減少する。商品Aの売り値を60円以上として、1日の売り上げ高が最大になる売り値を求める問題です。売り値を60円から$x$円値上げしたときの1日の売り上げ高を$y$円とするとき、$y$を最大にする$x$を求め、その時の売り値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 1日に売れる個数を求める。

$x$円値上げすると、売れる個数は5$x$個減るので、1日に売れる個数は$400 - 5x$個。

(2) $x$の範囲を求める。

$x \geq 0$ かつ $400 - 5x \geq 0$ より、$5x \leq 400$ なので、$x \leq 80$。したがって、$0 \leq x \leq 80$。

(3) $y$を$x$の式で表す。

売り上げ高$y$は、(売り値) × (売れる個数) なので、

$y = (60 + x)(400 - 5x)$

$y = 24000 - 300x + 400x - 5x^2$

$y = -5x^2 + 100x + 24000$

$y = -5(x^2 - 20x) + 24000$

$y = -5(x^2 - 20x + 100 - 100) + 24000$

$y = -5(x - 10)^2 + 500 + 24000$

$y = -5(x - 10)^2 + 24500$

(4) $y$が最大となる$x$を求める。

$y$は$x = 10$のとき最大値をとる。これは、$0 \leq x \leq 80$の範囲内にある。

(5) 売り上げが最大となる商品の売り値を求める。

売り上げが最大となるのは$x = 10$のときなので、売り値は$60 + 10 = 70$円。

3. 最終的な答え

* 1日に売れる個数は (400-5x) 個

* 0≤x≤80

* y=-5(x^2-20x-4800)

* x=10 のとき最大となる

* 商品Aの売り値を 70 円にしたときに売り上げ高が最大となる