$a, b$ は有理数とする。$\sqrt{10}$ が無理数であることを用いて、次の問いに答えよ。 (1) $\sqrt{2}a + \sqrt{5}b = 0 \implies a = b = 0$ を証明せよ。 (2) $(2\sqrt{2} + 3\sqrt{5})p + (\sqrt{2} - \sqrt{5})q - \sqrt{2} - 4\sqrt{5} = 0$ を満たす有理数 $p, q$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ は有理数とする。$\sqrt{10}$ が無理数であることを用いて、次の問いに答えよ。

(1) $\sqrt{2}a + \sqrt{5}b = 0 \implies a = b = 0$ を証明せよ。

(2) $(2\sqrt{2} + 3\sqrt{5})p + (\sqrt{2} - \sqrt{5})q - \sqrt{2} - 4\sqrt{5} = 0$ を満たす有理数 $p, q$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{2}a + \sqrt{5}b = 0$ より、$\sqrt{2}a = -\sqrt{5}b$

両辺を2乗すると、$(\sqrt{2}a)^2 = (-\sqrt{5}b)^2$

$2a^2 = 5b^2$

$2a^2 - 5b^2 = 0$

もし、$a \neq 0$ なら、$a^2 > 0$ より $2a^2 > 0$。このとき $5b^2 > 0$ なので、$b \neq 0$

$2a^2 = 5b^2$ より $\frac{a^2}{b^2} = \frac{5}{2}$

$\frac{a}{b} = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$

$a, b$ は有理数なので $\frac{a}{b}$ も有理数だが、$\pm \frac{\sqrt{10}}{2}$ は無理数である。これは矛盾。

したがって、$a = 0$ でなければならない。

$\sqrt{2}a + \sqrt{5}b = 0$ に $a=0$ を代入すると、$\sqrt{5}b = 0$ となり、$b=0$ である。

よって、$a = b = 0$ である。

(2) $(2\sqrt{2} + 3\sqrt{5})p + (\sqrt{2} - \sqrt{5})q - \sqrt{2} - 4\sqrt{5} = 0$ を変形する。

$(2p + q - 1)\sqrt{2} + (3p - q - 4)\sqrt{5} = 0$

$p, q$ は有理数なので、$2p + q - 1$ と $3p - q - 4$ も有理数である。

(1) の結果より、$2p + q - 1 = 0$ かつ $3p - q - 4 = 0$ である。

$2p + q = 1$

$3p - q = 4$

2つの式を足し合わせると、$5p = 5$ より $p = 1$

$2(1) + q = 1$ より $q = 1 - 2 = -1$

したがって、$p = 1, q = -1$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = b = 0$

(2) $p = 1, q = -1$