$\log_{10} 2 = 0.3010$ と $\log_{10} 3 = 0.4771$ の値を使い、以下の問題を解きます。 (1) $6^{20}$ は何桁の整数か。 (2) $6^{20}$ の最高位の数字を求めよ。 (3) 不等式 $(\frac{1}{3})^n < 0.0001$ を満たす最小の整数 $n$ を求めよ。 (4) $2.25^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\log_{10} 2 = 0.3010$ と $\log_{10} 3 = 0.4771$ の値を使い、以下の問題を解きます。

(1) $6^{20}$ は何桁の整数か。

(2) $6^{20}$ の最高位の数字を求めよ。

(3) 不等式 $(\frac{1}{3})^n < 0.0001$ を満たす最小の整数 $n$ を求めよ。

(4) $2.25^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $6^{20}$ の桁数を求める。

$\log_{10} 6^{20} = 20 \log_{10} 6 = 20 \log_{10} (2 \cdot 3) = 20 (\log_{10} 2 + \log_{10} 3) = 20 (0.3010 + 0.4771) = 20(0.7781) = 15.562$

$6^{20}$ の桁数は $\lfloor 15.562 \rfloor + 1 = 15 + 1 = 16$ 桁です。

(2) $6^{20}$ の最高位の数字を求める。

$\log_{10} 6^{20} = 15.562 = 15 + 0.562$

最高位の数字を $x$ とすると、$\log_{10} x \le 0.562 < \log_{10} (x+1)$ となる $x$ を探します。

$\log_{10} 3 = 0.4771$

$\log_{10} 4 = \log_{10} 2^2 = 2 \log_{10} 2 = 2(0.3010) = 0.6020$

$0.4771 \le 0.562 < 0.6020$ より、 $\log_{10} 3 \le 0.562 < \log_{10} 4$ であるため、最高位の数字は3です。

(3) 不等式 $(\frac{1}{3})^n < 0.0001$ を満たす最小の整数 $n$ を求める。

$(\frac{1}{3})^n < 0.0001 = 10^{-4}$

両辺の常用対数をとると、

$\log_{10} (\frac{1}{3})^n < \log_{10} 10^{-4}$

$n \log_{10} (\frac{1}{3}) < -4$

$n (-\log_{10} 3) < -4$

$-0.4771 n < -4$

$0.4771 n > 4$

$n > \frac{4}{0.4771} \approx 8.384$

最小の整数 $n$ は 9 です。

(4) $2.25^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の値を求めよ。

3桁の整数は 100 以上 1000 未満なので、$100 \le 2.25^n < 1000$

常用対数をとると、

$\log_{10} 100 \le \log_{10} 2.25^n < \log_{10} 1000$

$2 \le n \log_{10} 2.25 < 3$

$2.25 = \frac{9}{4}$ なので、

$2 \le n \log_{10} \frac{9}{4} < 3$

$2 \le n (\log_{10} 9 - \log_{10} 4) < 3$

$2 \le n (2\log_{10} 3 - 2\log_{10} 2) < 3$

$2 \le n (2(0.4771) - 2(0.3010)) < 3$

$2 \le n (0.9542 - 0.6020) < 3$

$2 \le 0.3522 n < 3$

$\frac{2}{0.3522} \le n < \frac{3}{0.3522}$

$5.678 \le n < 8.518$

整数 $n$ の値は 6, 7, 8 です。

3. 最終的な答え

(1) 16桁

(2) 3

(3) 9

(4) 6, 7, 8