赤玉4個と白玉2個が入っている袋から、玉を1個取り出して色を見てから袋に戻す、という試行を3回繰り返すとき、赤玉が2回出る確率を求める。

1. 問題の内容

赤玉4個と白玉2個が入っている袋から、玉を1個取り出して色を見てから袋に戻す、という試行を3回繰り返すとき、赤玉が2回出る確率を求める。

2. 解き方の手順

この問題は反復試行の確率の問題である。

まず、1回の試行で赤玉が出る確率 $p$ を求める。

袋の中には赤玉が4個、白玉が2個入っているので、合計6個の玉が入っている。

したがって、赤玉が出る確率は

$p = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

となる。

次に、3回の試行のうち、赤玉が2回出る確率を求める。これは二項分布に従う。

3回のうち2回赤玉が出る組み合わせの数は、$_3C_2$ である。

$_3C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)} = 3$

赤玉が2回出て、白玉が1回出る確率は、

${}_3C_2 \times p^2 \times (1-p)^1$

で求められる。

$1-p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

なので、求める確率は

$3 \times (\frac{2}{3})^2 \times (\frac{1}{3})^1 = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{9}$