赤玉2個と白玉4個が入った袋から玉を1個取り出すとき、赤玉が出る確率が $\frac{1}{3}$、赤玉が出ない確率が $\frac{2}{3}$ である。取り出した玉の色を確認してから袋に戻す操作を4回繰り返すとき、赤玉がちょうど1回出る確率を求める。

1. 問題の内容

赤玉2個と白玉4個が入った袋から玉を1個取り出すとき、赤玉が出る確率が $\frac{1}{3}$、赤玉が出ない確率が $\frac{2}{3}$ である。取り出した玉の色を確認してから袋に戻す操作を4回繰り返すとき、赤玉がちょうど1回出る確率を求める。

2. 解き方の手順

4回の試行で赤玉がちょうど1回出る確率は、二項分布に従う。

赤玉が出る確率を $p$、赤玉が出ない確率を $q$ とすると、$p = \frac{1}{3}$、$q = \frac{2}{3}$ である。

4回の試行のうち、赤玉が1回だけ出る確率は、二項係数を用いて計算できる。

二項分布の確率質量関数は以下の通り。

$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$

ここで、$n$ は試行回数、$k$ は成功回数である。

この問題では、$n=4$、$k=1$ なので、

$P(X=1) = \binom{4}{1} (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^{4-1}$

$= \binom{4}{1} (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^{3}$

$= 4 \times \frac{1}{3} \times \frac{8}{27}$

$= \frac{32}{81}$

3. 最終的な答え

$\frac{32}{81}$