A君とB君がじゃんけんを5回するとき、A君が3回勝つ場合の数を求める問題です。

1. 問題の内容

A君とB君がじゃんけんを5回するとき、A君が3回勝つ場合の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、5回のじゃんけんのうち、A君が3回勝つ組み合わせの数を考えます。これは二項係数で表され、$_5C_3$ で計算できます。

$_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

次に、A君が1回勝つためには、A君が出す手とB君が出す手の組み合わせが3通りあります。

例えば、A君がグーで勝つ場合、B君はチョキを出します。同様に、A君がチョキで勝つならB君はパー、A君がパーで勝つならB君はグーを出します。

したがって、A君が勝つ場合の数は3通りです。

A君が3回勝つので、3回それぞれについて3通りの手の出し方があります。

同様に、A君が負ける場合も3通りあり、あいこの場合も3通りあります。

A君が3回勝つので、残りの2回はA君が負けるか、あいこになるかのいずれかです。

しかし、問題文は「A君が3回勝つ場合の数」を求めており、A君が3回勝てば残りの2回は勝敗は問われていません。つまり、残りの2回は、A君が負けるか、あいこになるか、A君が勝つかのいずれでもよいのです。

ところが、A君が3回勝つと決まっているので、残りの2回はA君が勝つことはできません。

したがって、残りの2回はA君が負けるか、あいこになるかしかありえません。そして、A君が負ける場合も3通り、あいこになる場合も3通りあります。つまり、それぞれの回で6通りの結果が考えられます。したがって、残りの2回は $6 \times 6 = 36$ 通りの結果が考えられます。

A君が3回勝つ組み合わせが10通りあり、残りの2回の組み合わせが36通りあるので、

$10 \times 3 \times 3 \times 3 \times 6 \times 6 = 10 \times 27 \times 36 = 9720$

しかし、問題文は、単純にA君が3回勝つ組み合わせの数を求めているだけなので、$_5C_3$だけを計算すれば良いです。

したがって、答えは10通りです。

しかし、問題文に「A君が3回勝つ場合の数」と書いてあり、残りの勝敗について指定がないので、残りの2回については、A君が負けるかあいこになる、つまりそれぞれ3通りの手の出し方があるわけではありません。問題文は、A君が３回勝ちさえすれば、残りの２回がどうなっても良い、と言っているのです。

だから、最初の$_5C_3=10$通りが答えになります。

残りの2回は、B君が勝つか、あいこになるか、A君が勝つか（実際にはA君が勝つことはないですが、条件として考えます）。

A君が勝つ時の手の出し方は3通り。残りの2回はそれぞれ3通りの結果があり得るので、$3^2 = 9$通り。したがって、$10 \times 3^5 = 10 \times 243 = 2430$通り。

しかし、A君が3回勝つ場合の数を単純に求めるならば、10通りとなります。

3. 最終的な答え

10 通り