A君とB君がじゃんけんを6回行うとき、A君が4回勝つ確率を求める問題です。ただし、引き分けも1回の試行として数えます。

1. 問題の内容

A君とB君がじゃんけんを6回行うとき、A君が4回勝つ確率を求める問題です。ただし、引き分けも1回の試行として数えます。

2. 解き方の手順

まず、じゃんけん1回におけるA君の勝つ確率を求めます。

じゃんけんの手はグー、チョキ、パーの3種類あり、A君が勝つためには、相手の手が特定の手である必要があります。

例えば、A君がグーを出した場合、B君がチョキを出せばA君の勝ちです。

同様にA君がチョキを出した場合、B君がパーを出せば勝ち、A君がパーを出した場合、B君がグーを出せば勝ちます。

したがって、A君が勝つ確率は $\frac{1}{3}$ です。

同様に、B君が勝つ確率も $\frac{1}{3}$ です。

引き分けになる確率は、$1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ です。

次に、6回のじゃんけんでA君が4回勝つ確率を考えます。

これは二項分布の問題として考えることができます。

$n=6$ 回の試行で、A君が勝つ確率 $p = \frac{1}{3}$、A君が負けるか引き分ける確率 $q = \frac{2}{3}$ となります。

A君が4回勝つ確率は、二項分布の公式を用いて計算できます。

二項分布の確率質量関数は以下の通りです。

$P(X=k) = {}_n C_k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

この問題では、$n=6$, $k=4$, $p=\frac{1}{3}$ なので、求める確率は次のようになります。

$P(X=4) = {}_6 C_4 \cdot (\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^{6-4} = {}_6 C_4 \cdot (\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^2$

${}_6 C_4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

したがって、

$P(X=4) = 15 \cdot (\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^2 = 15 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{4}{9} = 15 \cdot \frac{4}{729} = \frac{60}{729} = \frac{20}{243}$

3. 最終的な答え

A君が4回勝つ確率は $\frac{20}{243}$ です。