$a < 0$ である定数 $a$, $b$ があり、一次関数 $y = ax + b$ の $-1 \le x \le 2$ における値域が $-1 \le y \le 1$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a < 0$ である定数 $a$, $b$ があり、一次関数 $y = ax + b$ の $-1 \le x \le 2$ における値域が $-1 \le y \le 1$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$a < 0$ より、一次関数 $y = ax + b$ は減少関数である。

そのため、$x$ の値が最大のとき $y$ は最小となり、$x$ の値が最小のとき $y$ は最大となる。

$x = 2$ のとき $y = -1$ となるので、

$2a + b = -1$

$x = -1$ のとき $y = 1$ となるので、

$-a + b = 1$

上記の二つの式を連立方程式として解く。

$-a + b = 1$ より、$b = a + 1$

これを $2a + b = -1$ に代入すると、

$2a + a + 1 = -1$

$3a = -2$

$a = -\frac{2}{3}$

$b = a + 1$ に $a = -\frac{2}{3}$ を代入すると、

$b = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{2}{3}$

$b = \frac{1}{3}$