関数 $y = -x^2 + 4ax - a$ (定義域 $0 \le x \le 2$) について、以下の問いに答える。 (1) 最大値を求めよ。 (2) 最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 4ax - a$ (定義域 $0 \le x \le 2$) について、以下の問いに答える。

(1) 最大値を求めよ。

(2) 最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = -(x^2 - 4ax) - a = -(x - 2a)^2 + 4a^2 - a$

したがって、この関数のグラフは、頂点が $(2a, 4a^2 - a)$ で、上に凸な放物線である。

定義域は $0 \le x \le 2$ である。

(1) 最大値を求める。

軸 $x = 2a$ と定義域 $0 \le x \le 2$ の位置関係によって場合分けをする。

(i) $2a < 0$ つまり $a < 0$ のとき：

定義域内で単調減少なので、$x = 0$ で最大値をとる。

最大値は $y = -0^2 + 4a(0) - a = -a$

(ii) $0 \le 2a \le 2$ つまり $0 \le a \le 1$ のとき：

頂点で最大値をとる。

最大値は $4a^2 - a$

(iii) $2 < 2a$ つまり $1 < a$ のとき：

定義域内で単調増加なので、$x = 2$ で最大値をとる。

最大値は $y = -2^2 + 4a(2) - a = -4 + 8a - a = 7a - 4$

(2) 最小値を求める。

軸 $x=2a$ と定義域の中央の値$x=1$の位置関係によって場合分けをする。

また、定義域の両端の値 $x=0$と$x=2$での値を比較する必要がある。

(i) $2a < 1$ つまり $a < \frac{1}{2}$ のとき：

$x=2$ で最小値をとる。

最小値は $y = -2^2 + 4a(2) - a = -4 + 8a - a = 7a - 4$

(ii) $1 \le 2a$ つまり $\frac{1}{2} \le a$ のとき：

$x=0$ で最小値をとる。

最小値は $y = -0^2 + 4a(0) - a = -a$

3. 最終的な答え

(1) 最大値：

$a < 0$ のとき、$-a$

$0 \le a \le 1$ のとき、$4a^2 - a$

$1 < a$ のとき、$7a - 4$

(2) 最小値：

$a < \frac{1}{2}$ のとき、$7a - 4$

$\frac{1}{2} \le a$ のとき、$-a$