与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 8 & -6 \\ -2 & 5 & 6 \\ 1 & 4 & -1 \end{bmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。まず、行列 $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ を求め、それを用いて $A^{-1}$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 8 & -6 \\ -2 & 5 & 6 \\ 1 & 4 & -1 \end{bmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。まず、行列 $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ を求め、それを用いて $A^{-1}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 余因子行列 $\tilde{A}$ の計算

余因子行列は、各成分を余因子で置き換えた行列の転置です。余因子 $C_{ij}$ は、行列 $A$ から $i$ 行と $j$ 列を取り除いた小行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ を掛けたものです。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = (5 \times -1) - (6 \times 4) = -5 - 24 = -29$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} -2 & 6 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -((-2 \times -1) - (6 \times 1)) = -(2 - 6) = 4$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} -2 & 5 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = (-2 \times 4) - (5 \times 1) = -8 - 5 = -13$

$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 8 & -6 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = -((8 \times -1) - (-6 \times 4)) = -(-8 + 24) = -16$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 2 & -6 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (2 \times -1) - (-6 \times 1) = -2 + 6 = 4$

$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = -((2 \times 4) - (8 \times 1)) = -(8 - 8) = 0$

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 8 & -6 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = (8 \times 6) - (-6 \times 5) = 48 + 30 = 78$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 2 & -6 \\ -2 & 6 \end{vmatrix} = -((2 \times 6) - (-6 \times -2)) = -(12 - 12) = 0$

$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} = (2 \times 5) - (8 \times -2) = 10 + 16 = 26$

したがって、余因子行列の転置 $\tilde{A}$ は以下のようになります。

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} -29 & -16 & 78 \\ 4 & 4 & 0 \\ -13 & 0 & 26 \end{bmatrix}$

(2) 逆行列 $A^{-1}$ の計算

逆行列は、元の行列式で余因子行列の転置を除算することによって計算されます。 まず行列式 $det(A)$ を計算します。

$det(A) = 2 \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} - 8 \begin{vmatrix} -2 & 6 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + (-6) \begin{vmatrix} -2 & 5 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 2(-5-24) - 8(2-6) - 6(-8-5) = 2(-29) - 8(-4) - 6(-13) = -58 + 32 + 78 = 52$

したがって、逆行列 $A^{-1}$ は以下のようになります。

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \tilde{A} = \frac{1}{52} \begin{bmatrix} -29 & -16 & 78 \\ 4 & 4 & 0 \\ -13 & 0 & 26 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -29/52 & -16/52 & 78/52 \\ 4/52 & 4/52 & 0 \\ -13/52 & 0 & 26/52 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -29/52 & -4/13 & 3/2 \\ 1/13 & 1/13 & 0 \\ -1/4 & 0 & 1/2 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{bmatrix} -29/52 & -4/13 & 3/2 \\ 1/13 & 1/13 & 0 \\ -1/4 & 0 & 1/2 \end{bmatrix}$