ベクトル $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix}$ とベクトル $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ が与えられています。以下の値を求めます。 (1) $\mathbf{a}^\top \mathbf{b}$ (2) $\mathbf{b} \mathbf{a}^\top$ (3) $\mathbf{a}$ のノルム (4) $\mathbf{a}$ の単位ベクトル (5) $(\mathbf{a}, \mathbf{b})$ （内積） (6) $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ （外積）

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix}$ とベクトル $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ が与えられています。以下の値を求めます。

(1) $\mathbf{a}^\top \mathbf{b}$

(2) $\mathbf{b} \mathbf{a}^\top$

(3) $\mathbf{a}$ のノルム

(4) $\mathbf{a}$ の単位ベクトル

(5) $(\mathbf{a}, \mathbf{b})$ （内積）

(6) $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ （外積）

2. 解き方の手順

(1) $\mathbf{a}^\top \mathbf{b}$ を求める。

$\mathbf{a}^\top = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 \end{bmatrix}$ であるから、

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\mathbf{a}^\top \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} = (1)(2) + (-4)(3) + (2)(4) = 2 - 12 + 8 = -2

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(2) $\mathbf{b} \mathbf{a}^\top$ を求める。

$\mathbf{a}^\top = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 \end{bmatrix}$ であるから、

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\mathbf{b} \mathbf{a}^\top = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -8 & 4 \\ 3 & -12 & 6 \\ 4 & -16 & 8 \end{bmatrix}

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(3) $\mathbf{a}$ のノルム $||\mathbf{a}||$ を求める。

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||\mathbf{a}|| = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}

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(4) $\mathbf{a}$ の単位ベクトル $\hat{\mathbf{a}}$ を求める。

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\hat{\mathbf{a}} = \frac{\mathbf{a}}{||\mathbf{a}||} = \frac{1}{\sqrt{21}} \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{21}} \\ -\frac{4}{\sqrt{21}} \\ \frac{2}{\sqrt{21}} \end{bmatrix}

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(5) $(\mathbf{a}, \mathbf{b})$ （内積）を求める。

これは $\mathbf{a}^\top \mathbf{b}$ と同じなので、$(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = -2$

(6) $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ （外積）を求める。

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\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} (-4)(4) - (2)(3) \\ (2)(2) - (1)(4) \\ (1)(3) - (-4)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -16 - 6 \\ 4 - 4 \\ 3 + 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -22 \\ 0 \\ 11 \end{bmatrix}

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3. 最終的な答え

(1) $\mathbf{a}^\top \mathbf{b} = -2$

(2) $\mathbf{b} \mathbf{a}^\top = \begin{bmatrix} 2 & -8 & 4 \\ 3 & -12 & 6 \\ 4 & -16 & 8 \end{bmatrix}$

(3) $||\mathbf{a}|| = \sqrt{21}$

(4) $\hat{\mathbf{a}} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{21}} \\ -\frac{4}{\sqrt{21}} \\ \frac{2}{\sqrt{21}} \end{bmatrix}$

(5) $(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = -2$

(6) $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} -22 \\ 0 \\ 11 \end{bmatrix}$