関数 $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ において、$ \frac{1}{81} < x \leq 9$ のときの $y$ の値域を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ において、$\frac{1}{81} < x \leq 9$ のときの $y$ の値域を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の範囲の端点について、$y$ の値を計算します。

- $x = \frac{1}{81}$ のとき:

$y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{81}$

ここで、$\frac{1}{81} = (\frac{1}{3})^4$ であるから、

$y = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^4 = 4$

- $x = 9$ のとき:

$y = \log_{\frac{1}{3}} 9$

ここで、$9 = 3^2 = (\frac{1}{3})^{-2}$ であるから、

$y = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^{-2} = -2$

対数関数 $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ は、底が $\frac{1}{3}$ (0 < $\frac{1}{3}$ < 1) であるため、減少関数です。

したがって、$x$ が増加すると、$y$ は減少します。

$x$ の範囲は $\frac{1}{81} < x \leq 9$ なので、$y$ の範囲は $-2 \leq y < 4$ となります。

3. 最終的な答え

$-2 \leq y < 4$