2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 3a$ が与えられている。 (1) $a=1$ のとき、$f(x)$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。 (2) $0 < a < 1$ のとき、$0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値が $\frac{15}{4}$ となるような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 3a$ が与えられている。

(1) $a=1$ のとき、$f(x)$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

(2) $0 < a < 1$ のとき、$0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値が $\frac{15}{4}$ となるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a=1$ のとき、関数は $f(x) = x^2 - 2x + 1 + 3 = x^2 - 2x + 4$ となる。

これを平方完成すると、$f(x) = (x - 1)^2 + 3$ となる。

よって、最小値は $x=1$ のとき $3$ である。

(2) $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 3a$ を平方完成すると、$f(x) = (x - a)^2 + 3a$ となる。

軸は $x = a$ である。

$0 < a < 1$ であるから、$0 < a < 1 < 2$ となる。

定義域 $0 \le x \le 2$ において、軸 $x=a$ は定義域の中にある。

$f(x)$ の最大値は、定義域の端点 $x=0$ または $x=2$ でとる。

$f(0) = a^2 + 3a$

$f(2) = (2-a)^2 + 3a = 4 - 4a + a^2 + 3a = a^2 - a + 4$

最大値が $\frac{15}{4}$ なので、以下の2つの場合を考える。

(i) $f(0) = a^2 + 3a = \frac{15}{4}$ のとき

$4a^2 + 12a - 15 = 0$

$a = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 240}}{8} = \frac{-12 \pm \sqrt{384}}{8} = \frac{-12 \pm 8\sqrt{6}}{8} = \frac{-3 \pm 2\sqrt{6}}{2}$

$a = \frac{-3 + 2\sqrt{6}}{2} \approx \frac{-3 + 2 \times 2.449}{2} \approx \frac{1.898}{2} \approx 0.949$ これは $0 < a < 1$ を満たす。

$a = \frac{-3 - 2\sqrt{6}}{2}$ は負なので不適。

(ii) $f(2) = a^2 - a + 4 = \frac{15}{4}$ のとき

$4a^2 - 4a + 16 = 15$

$4a^2 - 4a + 1 = 0$

$(2a - 1)^2 = 0$

$a = \frac{1}{2}$ これは $0 < a < 1$ を満たす。

$a = \frac{1}{2}$ のとき、軸 $x = \frac{1}{2}$ で、定義域の中央である。

$f(0) = f(2) = (\frac{1}{2})^2 + 3 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = \frac{1 + 6}{4} = \frac{7}{4}$

ここで $f(x) = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{2}$ なので、$0 \le x \le 2$ では、$x = 0$ と $x = 2$ で最大値をとる。

$a = \frac{-3 + 2\sqrt{6}}{2}$ のとき、$f(2) = (\frac{-3 + 2\sqrt{6}}{2})^2 - (\frac{-3 + 2\sqrt{6}}{2}) + 4 = \frac{15}{4}$ となるか確かめる。

$f(0) = (\frac{-3 + 2\sqrt{6}}{2})^2 + 3 (\frac{-3 + 2\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 12\sqrt{6} + 24}{4} + \frac{-9 + 6\sqrt{6}}{2} = \frac{33 - 12\sqrt{6} - 18 + 12\sqrt{6}}{4} = \frac{15}{4}$.

したがって、(i) (ii) より $a = \frac{1}{2}, \frac{-3 + 2\sqrt{6}}{2}$.

3. 最終的な答え

(1) 最小値: 3, $x = 1$

(2) $a = \frac{1}{2}, \frac{-3 + 2\sqrt{6}}{2}$