2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 3a$ が与えられています。ここで $a$ は定数です。 (1) $a=1$ のとき、$f(x)$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めます。 (2) $0 < a < 1$ のとき、$0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値が $\frac{15}{4}$ となるような $a$ の値を求めます。 (3) $a > 0$ のとき、$0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とします。$M - m = 6$ となるような $a$ の値を求めます。

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 3a$ が与えられています。ここで $a$ は定数です。

(1) $a=1$ のとき、$f(x)$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めます。

(2) $0 < a < 1$ のとき、$0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値が $\frac{15}{4}$ となるような $a$ の値を求めます。

(3) $a > 0$ のとき、$0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とします。$M - m = 6$ となるような $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a=1$ のとき、

$f(x) = x^2 - 2x + 1 + 3 = x^2 - 2x + 4 = (x-1)^2 + 3$

これは下に凸な放物線であり、頂点の座標は $(1, 3)$ です。したがって、$x=1$ のとき最小値 $3$ をとります。

(2) $f(x) = (x-a)^2 + 3a$

軸は $x=a$ です。$0 < a < 1$ なので、軸は区間 $0 \le x \le 2$ に含まれます。

$0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値は $f(2) = (2-a)^2 + 3a = 4 - 4a + a^2 + 3a = a^2 - a + 4$

これが $\frac{15}{4}$ に等しいので、

$a^2 - a + 4 = \frac{15}{4}$

$4a^2 - 4a + 16 = 15$

$4a^2 - 4a + 1 = 0$

$(2a-1)^2 = 0$

$2a-1 = 0$

$a = \frac{1}{2}$

これは $0 < a < 1$ を満たします。

(3) $f(x) = (x-a)^2 + 3a$

軸は $x=a$ です。

場合分けをします。

(i) $0 < a \le 1$ のとき、$0 \le x \le 2$ で最小値は $m = f(a) = 3a$ です。

最大値は $M = f(2) = (2-a)^2 + 3a = a^2 - a + 4$ です。

$M - m = (a^2 - a + 4) - 3a = a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2 = 6$

$a - 2 = \pm \sqrt{6}$

$a = 2 \pm \sqrt{6}$

$0 < a \le 1$ を満たすものは存在しません。

(ii) $1 < a < 2$ のとき、$0 \le x \le 2$ で最小値は $m = f(a) = 3a$ です。

最大値は $M = f(0) = a^2 + 3a$ です。

$M - m = (a^2 + 3a) - 3a = a^2 = 6$

$a = \pm \sqrt{6}$

$1 < a < 2$ を満たすものは存在しません。

(iii) $a \ge 2$ のとき、$0 \le x \le 2$ で最小値は $m = f(2) = (2-a)^2 + 3a = a^2 - a + 4$ です。

最大値は $M = f(0) = a^2 + 3a$ です。

$M - m = (a^2 + 3a) - (a^2 - a + 4) = 4a - 4 = 6$

$4a = 10$

$a = \frac{5}{2}$

これは $a \ge 2$ を満たします。

3. 最終的な答え

(1) $x=1$ のとき、最小値 $3$

(2) $a = \frac{1}{2}$

(3) $a = \frac{5}{2}$