2次関数 $f(x) = x^2 - 5x + 4$ がある。$t$ を正の定数とするとき、$0 \le x \le t$ における $f(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とする。$M$ と $m$ を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 5x + 4$ がある。$t$ を正の定数とするとき、$0 \le x \le t$ における $f(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とする。$M$ と $m$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 5x + 4 = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + 4 = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{9}{4}$

軸は $x = \frac{5}{2}$ である。

(1) $t$ の範囲によって場合分けをする。

$0 \le x \le t$ における $f(x)$ の最大値 $M$ と最小値 $m$ を求める。

(i) $0 < t \le \frac{5}{2}$ のとき

$f(x)$ は区間内で減少するため、

$M = f(0) = 4$

$m = f(t) = t^2 - 5t + 4$

(ii) $\frac{5}{2} < t < 5$ のとき

$M = f(0) = 4$

$m = f(\frac{5}{2}) = -\frac{9}{4}$

(iii) $t \ge 5$ のとき

$M = f(t) = t^2 - 5t + 4$

$m = f(\frac{5}{2}) = -\frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

(i) $0 < t \le \frac{5}{2}$ のとき

$M = 4$, $m = t^2 - 5t + 4$

(ii) $\frac{5}{2} < t < 5$ のとき

$M = 4$, $m = -\frac{9}{4}$

(iii) $t \ge 5$ のとき

$M = t^2 - 5t + 4$, $m = -\frac{9}{4}$