与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 4k)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 4k)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sum$ の性質を利用して、和を分割します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 4k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 4 \sum_{k=1}^{n} k$

次に、$\sum_{k=1}^{n} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n} k$ の公式を適用します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

これらの公式を代入すると、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 4k) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{12n(n+1)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) - 12n(n+1)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1 - 12)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(2n-11)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(2n-11)}{6}$