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面積が1の正三角形$A_0$から始めて、図のように図形$A_1$, $A_2$, ...を作っていく。ここで、$A_n$は、$A_{n-1}$の各辺の三等分点を頂点にもつ正三角形を$A_{n-1}$の外側につけ加えてできる図形である。 (1) 図形$A_n$の辺の数を求めよ。 (2) 図形$A_n$の面積を$S_n$とするとき、$\lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ。

幾何学フラクタル極限数列面積
2025/6/22
## 回答

1. 問題の内容

面積が1の正三角形A0A_0から始めて、図のように図形A1A_1, A2A_2, ...を作っていく。ここで、AnA_nは、An−1A_{n-1}の各辺の三等分点を頂点にもつ正三角形をAn−1A_{n-1}の外側につけ加えてできる図形である。
(1) 図形AnA_nの辺の数を求めよ。
(2) 図形AnA_nの面積をSnS_nとするとき、lim⁡n→∞Sn\lim_{n \to \infty} S_nを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 図形AnA_nの辺の数を求める。
- A0A_0の辺の数は3。
- An−1A_{n-1}の各辺を3等分し、各辺に正三角形をつけるので、An−1A_{n-1}の辺の数が3倍になる。
よって、図形AnA_nの辺の数をLnL_nとすると、L0=3L_0 = 3、Ln=2Ln−1L_n = 2L_{n-1}の関係が成り立つ。
これは等比数列であり、Ln=3⋅2nL_n = 3 \cdot 2^nと表せる。
(2) 図形AnA_nの面積SnS_nを求める。
- A0A_0の面積はS0=1S_0 = 1。
- An−1A_{n-1}からAnA_nを作るとき、正三角形の辺の長さは1/31/3になるので、面積は1/91/9になる。
- An−1A_{n-1}にはLn−1L_{n-1}個の辺があるため、AnA_nを作るときに付け加える正三角形の数はLn−1=3⋅2n−1L_{n-1} = 3 \cdot 2^{n-1}個。
- したがって、面積の増加分は19×3⋅2n−1=13⋅2n−1\frac{1}{9} \times 3 \cdot 2^{n-1} = \frac{1}{3} \cdot 2^{n-1}。
- よって、Sn=Sn−1+13⋅2n−1S_n = S_{n-1} + \frac{1}{3} \cdot 2^{n-1}
これを繰り返し使うと、
Sn=S0+∑k=1n13⋅2k−1=1+13∑k=0n−12k=1+132n−12−1=1+13(2n−1)S_n = S_0 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3} \cdot 2^{k-1} = 1 + \frac{1}{3} \sum_{k=0}^{n-1} 2^k = 1 + \frac{1}{3} \frac{2^n - 1}{2-1} = 1 + \frac{1}{3}(2^n - 1).
したがって、Sn=1+2n−13S_n = 1 + \frac{2^n - 1}{3}。
- SnS_nが収束すると仮定する。するとAnA_nはシェルピンスキーのガスケットに近づく。
- 正三角形の一辺をllとすると、面積はS=34l2S = \frac{\sqrt{3}}{4} l^2である。
- 各辺に正三角形をつけた時の面積変化を考える。
- S0=1S_0 = 1
- S1=1+3×19=43S_1 = 1 + 3 \times \frac{1}{9} = \frac{4}{3}
- S2=43+6×19×14=43+6×136=43+16=96=32S_2 = \frac{4}{3} + 6 \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{4}= \frac{4}{3} + 6 \times \frac{1}{36}= \frac{4}{3} + \frac{1}{6}= \frac{9}{6}= \frac{3}{2}
- Sn=Sn−1+3×2n−19nS_n = S_{n-1} + \frac{3\times2^{n-1}}{9^n}
増加分の計算を修正する。An−1A_{n-1}には3⋅2n−13 \cdot 2^{n-1}個の辺がある。
An−1A_{n-1}の各辺を3等分した長さの正三角形の面積は1/91/9。
Sn=Sn−1+3∗2n−1(19)n34S_n = S_{n-1} + 3*2^{n-1}(\frac{1}{9})^n\frac{\sqrt{3}}{4}。
Sn=1+∑k=1n3⋅2k−1(13)2k34S_n = 1 + \sum_{k=1}^n 3 \cdot 2^{k-1} (\frac{1}{3})^{2k}\frac{\sqrt{3}}{4}
図形AnA_nの面積はSn=1+312∑k=1n3(29)k−1S_n = 1 + \frac{\sqrt{3}}{12} \sum_{k=1}^n 3(\frac{2}{9})^{k-1}
極限値を求める。
lim⁡n→∞Sn=1+34⋅∑k=1∞3⋅(13)2k2k−1(34)\lim_{n \to \infty} S_n = 1 + \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \sum_{k=1}^{\infty} 3 \cdot (\frac{1}{3})^{2k} \frac{2^{k-1}}{(\frac{\sqrt{3}}{4})}
lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞[1+∑k=1n3⋅2k−19k(34)13∗43]=1+25\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} [ 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{3\cdot2^{k-1}}{9^k}(\frac{\sqrt{3}}{4}) \frac{1}{3}* \frac{4}{\sqrt{3}}] = 1+ \frac{2}{5}
lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞[S0+3×(34)×(∑k=1∞(2/9)k−11−29]\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} [ S_0 + 3 \times (\frac{\sqrt{3}}{4}) \times (\sum_{k=1}^\infty \frac{(2/9)^{k-1}}{1-\frac{2}{9}} ]
lim⁡n→∞Sn=1+35=85\lim_{n \to \infty} S_n =1+ \frac{3}{5} = \frac{8}{5}

3. 最終的な答え

(1) 図形AnA_nの辺の数: 3⋅2n3 \cdot 2^n
(2) lim⁡n→∞Sn=85\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{8}{5}

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