問題は、点Oを中心とする扇形の中に、線分OA, OB上に点B, Mがあり、OA = a cm, OB = b cm, MはABの中点とする。扇形OBMの弧の長さを$l$ cm、扇形OABの面積から扇形OBの面積を引いた面積を$S$ cm$^2$とするとき、$S = (a-b)l$となることを証明するというものです。ただし、$a, b$は正の数で$a > b$とする。

1. 問題の内容

問題は、点Oを中心とする扇形の中に、線分OA, OB上に点B, Mがあり、OA = a cm, OB = b cm, MはABの中点とする。扇形OBMの弧の長さを$l$ cm、扇形OABの面積から扇形OBの面積を引いた面積を$S$ cm$^2$とするとき、$S = (a-b)l$となることを証明するというものです。ただし、$a, b$は正の数で$a > b$とする。

2. 解き方の手順

まず、$OM$の長さを求めます。MはABの中点なので、$OM = OB + BM = OB + \frac{1}{2}AB$です。$AB = OA - OB = a - b$なので、$OM = b + \frac{1}{2}(a - b) = \frac{1}{2}(a + b)$となります。

次に、弧の長さ$l$を求めます。弧の長さは、半径$r$と中心角$\theta$を用いて、$l = r\theta$と表されます。この問題では、中心角は90度、つまり$\frac{\pi}{2}$ラジアンなので、$l = OM \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}(a + b)$となります。

次に、面積$S$を求めます。$S$は、半径$a$のおうぎ形の面積から半径$b$のおうぎ形の面積を引いたものなので、$S = \frac{1}{4}\pi a^2 - \frac{1}{4}\pi b^2 = \frac{\pi}{4}(a^2 - b^2)$となります。これは、$S = \frac{\pi}{4}(a + b)(a - b)$と因数分解できます。

最後に、$S = (a - b)l$を証明します。

$S = \frac{\pi}{4}(a + b)(a - b)$

$l = \frac{\pi}{4}(a + b)$なので、

$(a - b)l = (a - b) \times \frac{\pi}{4}(a + b) = \frac{\pi}{4}(a + b)(a - b) = S$

したがって、$S = (a - b)l$が証明されました。

3. 最終的な答え

$S=(a-b)l$