関数 $G(x) = \int_0^x (x-t)e^t dt$ について、$G'(x)$と$G''(x)$を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $G(x) = \int_0^x (x-t)e^t dt$ について、$G'(x)$と$G''(x)$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$G(x)$ を計算します。積分の中身を展開すると、

$G(x) = \int_0^x (xe^t - te^t) dt = x \int_0^x e^t dt - \int_0^x te^t dt$

となります。

$\int_0^x e^t dt = [e^t]_0^x = e^x - e^0 = e^x - 1$

$\int_0^x te^t dt$ は部分積分を使って計算します。

$u = t$, $dv = e^t dt$ とすると、$du = dt$, $v = e^t$ なので、

$\int_0^x te^t dt = [te^t]_0^x - \int_0^x e^t dt = xe^x - (e^x - 1) = xe^x - e^x + 1$

よって、

$G(x) = x(e^x - 1) - (xe^x - e^x + 1) = xe^x - x - xe^x + e^x - 1 = e^x - x - 1$

次に、$G'(x)$ を計算します。

$G'(x) = \frac{d}{dx} (e^x - x - 1) = e^x - 1$

最後に、$G''(x)$ を計算します。

$G''(x) = \frac{d}{dx} (e^x - 1) = e^x$

3. 最終的な答え

$G'(x) = e^x - 1$

$G''(x) = e^x$