与えられた関数 $f(x)$ と区間に対して、平均値の定理を満たす $c$ を求めよ。 (1) $f(x) = x^3$, $[1, 3]$ (2) $f(x) = \frac{2}{x}$, $[2, 4]$ (3) $f(x) = x^3 - x$, $[-2, 2]$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ と区間に対して、平均値の定理を満たす $c$ を求めよ。

(1) $f(x) = x^3$, $[1, 3]$

(2) $f(x) = \frac{2}{x}$, $[2, 4]$

(3) $f(x) = x^3 - x$, $[-2, 2]$

2. 解き方の手順

平均値の定理は、関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で、開区間 $(a, b)$ で微分可能であるとき、

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\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)

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を満たす $c$ が $(a, b)$ に少なくとも１つ存在する、というものです。

(1) $f(x) = x^3$, $[1, 3]$ の場合：

$f'(x) = 3x^2$

$f(1) = 1^3 = 1$

$f(3) = 3^3 = 27$

平均値の定理より、

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\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = f'(c)

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\frac{27 - 1}{3 - 1} = 3c^2

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\frac{26}{2} = 3c^2

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13 = 3c^2

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c^2 = \frac{13}{3}

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c = \pm\sqrt{\frac{13}{3}}

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区間 $(1, 3)$ に含まれるのは $c = \sqrt{\frac{13}{3}}$ のみ。

(2) $f(x) = \frac{2}{x}$, $[2, 4]$ の場合：

$f'(x) = -\frac{2}{x^2}$

$f(2) = \frac{2}{2} = 1$

$f(4) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

平均値の定理より、

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\frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = f'(c)

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\frac{\frac{1}{2} - 1}{4 - 2} = -\frac{2}{c^2}

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\frac{-\frac{1}{2}}{2} = -\frac{2}{c^2}

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-\frac{1}{4} = -\frac{2}{c^2}

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c^2 = 8

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c = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}

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区間 $(2, 4)$ に含まれるのは $c = 2\sqrt{2}$ のみ。

(3) $f(x) = x^3 - x$, $[-2, 2]$ の場合：

$f'(x) = 3x^2 - 1$

$f(-2) = (-2)^3 - (-2) = -8 + 2 = -6$

$f(2) = (2)^3 - 2 = 8 - 2 = 6$

平均値の定理より、

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\frac{f(2) - f(-2)}{2 - (-2)} = f'(c)

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\frac{6 - (-6)}{2 - (-2)} = 3c^2 - 1

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\frac{12}{4} = 3c^2 - 1

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3 = 3c^2 - 1

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4 = 3c^2

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c^2 = \frac{4}{3}

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c = \pm\sqrt{\frac{4}{3}} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}

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区間 $(-2, 2)$ に含まれるのは $c = \frac{2}{\sqrt{3}}$ と $c = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ の両方。

3. 最終的な答え

(1) $c = \sqrt{\frac{13}{3}}$

(2) $c = 2\sqrt{2}$

(3) $c = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}$