任意の実数 $a$ および自然数 $n$ に対して、不等式 $e^x \geq e^a + \frac{e^a}{1!}(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{e^a}{n!}(x-a)^n$ が $x \geq a$ の範囲で成立することを示す。

1. 問題の内容

任意の実数 $a$ および自然数 $n$ に対して、不等式

$e^x \geq e^a + \frac{e^a}{1!}(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{e^a}{n!}(x-a)^n$

が $x \geq a$ の範囲で成立することを示す。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = e^x$ とおく。このとき、テイラーの定理より、ある $a$ の近傍において

$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_{n+1}$

と書ける。ここで、$R_{n+1}$ は剰余項である。

$f(x) = e^x$ なので、$f^{(k)}(x) = e^x$ であるから、$f^{(k)}(a) = e^a$ となる。したがって、

$e^x = e^a + \frac{e^a}{1!}(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{e^a}{n!}(x-a)^n + R_{n+1}$

となる。

剰余項 $R_{n+1}$ について、ラグランジュの剰余項は、

$R_{n+1} = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} = \frac{e^c}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$

と書ける。ここで、$c$ は $a$ と $x$ の間の値である。

$x \geq a$ のとき、$x - a \geq 0$ である。

したがって、$x \geq a$ の場合、

$e^x = e^a + \frac{e^a}{1!}(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{e^a}{n!}(x-a)^n + \frac{e^c}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$

ここで、問題の不等式を示すためには、

$e^x \geq e^a + \frac{e^a}{1!}(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{e^a}{n!}(x-a)^n$

が示されれば良いので、

$\frac{e^c}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \geq 0$

が示されればよい。

$x \geq a$ であるから、$x-a \geq 0$ であり、$e^c$ は常に正である。したがって、

$\frac{e^c}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$の符号は$(x-a)^{n+1}$によって決定される。

$(x-a) \geq 0$であるから$(x-a)^{n+1} \geq 0$である。

よって、

$e^x \geq e^a + \frac{e^a}{1!}(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{e^a}{n!}(x-a)^n$

が成立する。

3. 最終的な答え

$e^x \geq e^a + \frac{e^a}{1!}(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{e^a}{n!}(x-a)^n$ (証明終わり)