任意の実数 $a$ と自然数 $n$ に対して、不等式 $e^x \geq e^a + \frac{e^a}{1!}(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{e^a}{n!}(x-a)^n$ が $x \geq a$ のとき成り立つことを示す。

1. 問題の内容

任意の実数 $a$ と自然数 $n$ に対して、不等式

$e^x \geq e^a + \frac{e^a}{1!}(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{e^a}{n!}(x-a)^n$

が $x \geq a$ のとき成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

$f(x) = e^x$ とおく。このとき、$f^{(k)}(x) = e^x$ である。

$x \geq a$ において、平均値の定理を繰り返し用いることで、与えられた不等式を証明する。

まず、$n=0$ の場合を考える。

$e^x \geq e^a$ を示す。これは $x \geq a$ より $e^x \geq e^a$ となるので成立する。

次に、$n=1$ の場合を考える。

$e^x \geq e^a + e^a(x-a)$ を示す。

$g(x) = e^x - e^a - e^a(x-a)$ とおく。

$g(a) = e^a - e^a - e^a(a-a) = 0$

$g'(x) = e^x - e^a$

$x \geq a$ のとき、$g'(x) \geq 0$ であるから、$g(x)$ は $x \geq a$ で単調増加である。

したがって、$g(x) \geq g(a) = 0$ となり、$e^x \geq e^a + e^a(x-a)$ が成立する。

一般の $n$ について、数学的帰納法を用いる。

$n=k$ のとき、

$e^x \geq e^a + \frac{e^a}{1!}(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{e^a}{k!}(x-a)^k$

が成立すると仮定する。

$n=k+1$ のとき、

$e^x \geq e^a + \frac{e^a}{1!}(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{e^a}{(k+1)!}(x-a)^{k+1}$

を示す。

関数 $h(x) = e^x - \sum_{i=0}^{n} \frac{e^a}{i!}(x-a)^i$ を考える。

$h(a) = e^a - e^a = 0$

$h'(x) = e^x - \sum_{i=1}^{n} \frac{e^a}{i!} i (x-a)^{i-1} = e^x - \sum_{i=1}^{n} \frac{e^a}{(i-1)!}(x-a)^{i-1}$

$= e^x - \sum_{i=0}^{n-1} \frac{e^a}{i!}(x-a)^i$

$x \geq a$ のとき、$e^x$ のテイラー展開を考えると、

$e^x = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{e^a}{i!}(x-a)^i$ であるから、

$h(x) \geq 0$ が成立する。

3. 最終的な答え

$e^x \geq e^a + \frac{e^a}{1!}(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{e^a}{n!}(x-a)^n$

(ただし、$x \geq a$)