平面上の点を直線 $y=x$ に関して対称な点に移す一次変換の行列を求める。

1. 問題の内容

平面上の点を直線 $y=x$ に関して対称な点に移す一次変換の行列を求める。

2. 解き方の手順

平面上の点 $(x, y)$ が直線 $y=x$ に関して対称な点に移ることを考える。

直線 $y=x$ に関して点 $(x, y)$ と対称な点は $(y, x)$ である。

したがって、変換は

$(x, y) \mapsto (y, x)$

と表される。

この変換を行列で表すと、

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$

となる。

これは、

$ax + by = y$

$cx + dy = x$

と表される。

この式が任意の $x, y$ について成り立つためには、

$a = 0, b = 1, c = 1, d = 0$

でなければならない。

したがって、求める行列は

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

となる。

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$