関数 $f(x) = x^2 - 2ax (-1 \le x \le 1)$ の最大値を $M(a)$、最小値を $m(a)$ とする。 (1) $y = M(a)$ のグラフをかけ。 (2) $y = m(a)$ のグラフをかけ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2ax (-1 \le x \le 1)$ の最大値を $M(a)$、最小値を $m(a)$ とする。

(1) $y = M(a)$ のグラフをかけ。

(2) $y = m(a)$ のグラフをかけ。

2. 解き方の手順

(1) 最大値 $M(a)$ を求める。

関数 $f(x) = x^2 - 2ax$ を平方完成すると、

$f(x) = (x - a)^2 - a^2$

軸は $x = a$ である。定義域は $-1 \le x \le 1$ である。

i) $a < -1$ のとき、$f(x)$ は単調減少なので、$M(a) = f(-1) = 1 + 2a$

ii) $-1 \le a \le 1$ のとき、$x = -1$ と $x = 1$ での値を比較する。

$f(-1) = 1 + 2a$, $f(1) = 1 - 2a$

$1 + 2a > 1 - 2a \Leftrightarrow a > 0$

$1 + 2a < 1 - 2a \Leftrightarrow a < 0$

$M(a) = \begin{cases} 1+2a & (0 \le a \le 1) \\ 1-2a & (-1 \le a < 0) \end{cases} = 1 + 2|a|$

iii) $a > 1$ のとき、$f(x)$ は単調増加なので、$M(a) = f(1) = 1 - 2a$

以上より、$M(a) = \begin{cases} 1 + 2a & (a < -1) \\ 1 - 2a & (1 < a) \\ 1 + 2|a| & (-1 \le a \le 1) \end{cases}$

$y = M(a)$ のグラフは、$a<-1$ で傾き2の直線、$a>1$ で傾き-2の直線、$-1 \le a \le 1$ で絶対値のグラフを繋げたものになる。

(2) 最小値 $m(a)$ を求める。

i) $a < -1$ のとき、$f(x)$ は単調減少なので、$m(a) = f(1) = 1 - 2a$

ii) $-1 \le a \le 1$ のとき、軸が定義域に含まれるので、$m(a) = f(a) = -a^2$

iii) $a > 1$ のとき、$f(x)$ は単調増加なので、$m(a) = f(-1) = 1 + 2a$

以上より、$m(a) = \begin{cases} 1 - 2a & (a < -1) \\ -a^2 & (-1 \le a \le 1) \\ 1 + 2a & (1 < a) \end{cases}$

$y = m(a)$ のグラフは、$a<-1$ で傾き-2の直線、$a>1$ で傾き2の直線、$-1 \le a \le 1$ で上に凸な放物線を繋げたものになる。

3. 最終的な答え

(1) $y=M(a)$ のグラフは $M(a) = \begin{cases} 1 + 2a & (a < -1) \\ 1 - 2a & (1 < a) \\ 1 + 2|a| & (-1 \le a \le 1) \end{cases}$ のグラフ。

(2) $y=m(a)$ のグラフは $m(a) = \begin{cases} 1 - 2a & (a < -1) \\ -a^2 & (-1 \le a \le 1) \\ 1 + 2a & (1 < a) \end{cases}$ のグラフ。