クラメルの公式を用いて、以下の2つの連立一次方程式を解く問題です。 (1) $ \begin{cases} 3x + y - 2z = -1 \\ -2x + 3y + z = 3 \\ x + 2y - z = 1 \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} x + 2y - 3z = 5 \\ 2x - z = 0 \\ 4x + 3y + z = -6 \end{cases} $

1. 問題の内容

クラメルの公式を用いて、以下の2つの連立一次方程式を解く問題です。

(1)

$$

\begin{cases}

3x + y - 2z = -1 \\

-2x + 3y + z = 3 \\

x + 2y - z = 1

\end{cases}

$$

(2)

$$

\begin{cases}

x + 2y - 3z = 5 \\

2x - z = 0 \\

4x + 3y + z = -6

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

(1) について

クラメルの公式を用いるために、まず係数行列の行列式 $D$ を計算します。

$$

D = \begin{vmatrix}

3 & 1 & -2 \\

-2 & 3 & 1 \\

1 & 2 & -1

\end{vmatrix}

= 3(3(-1) - 1(2)) - 1((-2)(-1) - 1(1)) + (-2)((-2)(2) - 3(1))

= 3(-3-2) - (2-1) - 2(-4-3)

= 3(-5) - 1 - 2(-7)

= -15 - 1 + 14 = -2

$$

次に、$x, y, z$ について、それぞれの変数に対応する列を定数項で置き換えた行列式 $D_x, D_y, D_z$ を計算します。

$$

D_x = \begin{vmatrix}

-1 & 1 & -2 \\

3 & 3 & 1 \\

1 & 2 & -1

\end{vmatrix}

= -1(3(-1) - 1(2)) - 1(3(-1) - 1(1)) + (-2)(3(2) - 3(1))

= -1(-3-2) - (-3-1) - 2(6-3)

= -1(-5) - (-4) - 2(3)

= 5 + 4 - 6 = 3

$$

$$

D_y = \begin{vmatrix}

3 & -1 & -2 \\

-2 & 3 & 1 \\

1 & 1 & -1

\end{vmatrix}

= 3(3(-1) - 1(1)) - (-1)((-2)(-1) - 1(1)) + (-2)((-2)(1) - 3(1))

= 3(-3-1) + (2-1) - 2(-2-3)

= 3(-4) + 1 - 2(-5)

= -12 + 1 + 10 = -1

$$

$$

D_z = \begin{vmatrix}

3 & 1 & -1 \\

-2 & 3 & 3 \\

1 & 2 & 1

\end{vmatrix}

= 3(3(1) - 3(2)) - 1((-2)(1) - 3(1)) + (-1)((-2)(2) - 3(1))

= 3(3-6) - (-2-3) - (-4-3)

= 3(-3) + 5 + 7

= -9 + 5 + 7 = 3

$$

クラメルの公式より、$x = \frac{D_x}{D}, y = \frac{D_y}{D}, z = \frac{D_z}{D}$ なので、

$x = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}, y = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}, z = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}$

(2) について

クラメルの公式を用いるために、まず係数行列の行列式 $D$ を計算します。

$$

D = \begin{vmatrix}

1 & 2 & -3 \\

2 & 0 & -1 \\

4 & 3 & 1

\end{vmatrix}

= 1(0(1) - (-1)(3)) - 2(2(1) - (-1)(4)) + (-3)(2(3) - 0(4))

= 1(0+3) - 2(2+4) - 3(6-0)

= 3 - 2(6) - 3(6)

= 3 - 12 - 18 = -27

$$

次に、$x, y, z$ について、それぞれの変数に対応する列を定数項で置き換えた行列式 $D_x, D_y, D_z$ を計算します。

$$

D_x = \begin{vmatrix}

5 & 2 & -3 \\

0 & 0 & -1 \\

-6 & 3 & 1

\end{vmatrix}

= 5(0(1) - (-1)(3)) - 2(0(1) - (-1)(-6)) + (-3)(0(3) - 0(-6))

= 5(0+3) - 2(0-6) + (-3)(0-0)

= 5(3) - 2(-6) + (-3)(0)

= 15 + 12 + 0 = 27

$$

$$

D_y = \begin{vmatrix}

1 & 5 & -3 \\

2 & 0 & -1 \\

4 & -6 & 1

\end{vmatrix}

= 1(0(1) - (-1)(-6)) - 5(2(1) - (-1)(4)) + (-3)(2(-6) - 0(4))

= 1(0-6) - 5(2+4) + (-3)(-12-0)

= 1(-6) - 5(6) + (-3)(-12)

= -6 - 30 + 36 = 0

$$

$$

D_z = \begin{vmatrix}

1 & 2 & 5 \\

2 & 0 & 0 \\

4 & 3 & -6

\end{vmatrix}

= 1(0(-6) - 0(3)) - 2(2(-6) - 0(4)) + 5(2(3) - 0(4))

= 1(0-0) - 2(-12-0) + 5(6-0)

= 1(0) - 2(-12) + 5(6)

= 0 + 24 + 30 = 54

$$

クラメルの公式より、$x = \frac{D_x}{D}, y = \frac{D_y}{D}, z = \frac{D_z}{D}$ なので、

$x = \frac{27}{-27} = -1, y = \frac{0}{-27} = 0, z = \frac{54}{-27} = -2$

3. 最終的な答え

(1) $x = -\frac{3}{2}, y = \frac{1}{2}, z = -\frac{3}{2}$

(2) $x = -1, y = 0, z = -2$