$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、 $\frac{ab+cd}{ab-cd} = \frac{a^2+c^2}{a^2-c^2}$ が成り立つことを示す問題です。

## 問題 (5) の解答

1. 問題の内容

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、 $\frac{ab+cd}{ab-cd} = \frac{a^2+c^2}{a^2-c^2}$ が成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ より、$ad = bc$ が成り立ちます。この関係式を利用して、与えられた等式の左辺と右辺をそれぞれ変形し、両辺が等しいことを証明します。

まず、左辺を変形します。$ad = bc$ より、$d = \frac{bc}{a}$ なので、これを左辺に代入します。

$\frac{ab+cd}{ab-cd} = \frac{ab+c(\frac{bc}{a})}{ab-c(\frac{bc}{a})} = \frac{ab+\frac{bc^2}{a}}{ab-\frac{bc^2}{a}}$

分母分子に $a$ をかけて、

$\frac{ab+\frac{bc^2}{a}}{ab-\frac{bc^2}{a}} = \frac{a^2b+bc^2}{a^2b-bc^2} = \frac{b(a^2+c^2)}{b(a^2-c^2)} = \frac{a^2+c^2}{a^2-c^2}$

これは右辺に等しいです。したがって、$\frac{ab+cd}{ab-cd} = \frac{a^2+c^2}{a^2-c^2}$が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{ab+cd}{ab-cd} = \frac{a^2+c^2}{a^2-c^2}$ は成り立つ。