与えられた二次関数を平方完成し、頂点の座標と軸の方程式を求める問題です。 (3) $y=x^2+12x+46$ (4) $y=4x^2-32x+55$ (5) $y=-3x^2+18x-20$

1. 問題の内容

与えられた二次関数を平方完成し、頂点の座標と軸の方程式を求める問題です。

(3) $y=x^2+12x+46$

(4) $y=4x^2-32x+55$

(5) $y=-3x^2+18x-20$

2. 解き方の手順

(3)

$y=x^2+12x+46$

まず、$x$ の係数の半分を求めます。$12/2=6$

$y=(x+6)^2 - 6^2 + 46$

$y=(x+6)^2 - 36 + 46$

$y=(x+6)^2 + 10$

頂点は $(-6, 10)$、軸は直線 $x=-6$、下に凸。

(4)

$y=4x^2-32x+55$

まず、$x^2$ の係数で括ります。

$y=4(x^2-8x) + 55$

$x$ の係数の半分を求めます。$-8/2=-4$

$y=4((x-4)^2 - (-4)^2) + 55$

$y=4((x-4)^2 - 16) + 55$

$y=4(x-4)^2 - 64 + 55$

$y=4(x-4)^2 - 9$

頂点は $(4, -9)$、軸は直線 $x=4$、下に凸。

(5)

$y=-3x^2+18x-20$

まず、$x^2$ の係数で括ります。

$y=-3(x^2-6x)-20$

$x$ の係数の半分を求めます。$-6/2=-3$

$y=-3((x-3)^2-(-3)^2)-20$

$y=-3((x-3)^2-9)-20$

$y=-3(x-3)^2+27-20$

$y=-3(x-3)^2+7$

頂点は $(3, 7)$、軸は直線 $x=3$、上に凸。

3. 最終的な答え

(3) $y=(x+6)^2 - 36 + 46 = (x+6)^2 + 10$

頂点 $(-6, 10)$、軸は直線 $x=-6$、下に凸。

(4) $y=4(x^2-8x) + 55 = 4((x-4)^2 - 16) + 55 = 4(x-4)^2 - 64 + 55 = 4(x-4)^2 - 9$

頂点 $(4, -9)$、軸は直線 $x=4$、下に凸。

(5) $y=-3(x^2-6x)-20 = -3((x-3)^2-9)-20 = -3(x-3)^2 + 27 - 20 = -3(x-3)^2 + 7$

頂点 $(3, 7)$、軸は直線 $x=3$、上に凸。