与えられた関数の最大値と最小値を、指定された範囲内で求めます。 (1) $y = x^2 + 2x + 3$ ($-2 \le x \le 2$) (2) $y = -x^2 + 4x - 3$ ($0 \le x \le 3$) (3) $y = 3x^2 + 6x - 1$ ($1 \le x \le 3$) (4) $y = -2x^2 + 12x$ ($0 \le x \le 6$)

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数の最大値と最小値を、指定された範囲内で求めます。

(1) $y = x^2 + 2x + 3$ ($-2 \le x \le 2$)

(2) $y = -x^2 + 4x - 3$ ($0 \le x \le 3$)

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1$ ($1 \le x \le 3$)

(4) $y = -2x^2 + 12x$ ($0 \le x \le 6$)

2. 解き方の手順

各関数について、平方完成を行い、頂点を求めます。次に、指定された範囲内で関数の値が最大または最小となる$x$の値を調べます。

(1) $y = x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2$

頂点は$(-1, 2)$であり、下に凸な放物線です。

範囲$-2 \le x \le 2$において、$x = -1$で最小値$2$をとり、$x = 2$で最大値$2^2 + 2(2) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11$をとります。

(2) $y = -x^2 + 4x - 3 = -(x - 2)^2 + 1$

頂点は$(2, 1)$であり、上に凸な放物線です。

範囲$0 \le x \le 3$において、$x = 2$で最大値$1$をとり、$x = 0$で最小値$-3$をとります。

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1 = 3(x + 1)^2 - 4$

頂点は$(-1, -4)$であり、下に凸な放物線です。

範囲$1 \le x \le 3$において、$x = 1$で$y = 3(1)^2 + 6(1) - 1 = 3 + 6 - 1 = 8$、$x = 3$で$y = 3(3)^2 + 6(3) - 1 = 27 + 18 - 1 = 44$となります。

最小値は$x=1$のとき$8$で、最大値は$x=3$のとき$44$です。

(4) $y = -2x^2 + 12x = -2(x - 3)^2 + 18$

頂点は$(3, 18)$であり、上に凸な放物線です。

範囲$0 \le x \le 6$において、$x = 3$で最大値$18$をとります。

$x=0$で$y=0$、$x=6$で$y=-2(6)^2 + 12(6) = -72 + 72 = 0$なので、最小値は$0$です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 11 ($x = 2$のとき), 最小値: 2 ($x = -1$のとき)

(2) 最大値: 1 ($x = 2$のとき), 最小値: -3 ($x = 0$のとき)

(3) 最大値: 44 ($x = 3$のとき), 最小値: 8 ($x = 1$のとき)

(4) 最大値: 18 ($x = 3$のとき), 最小値: 0 ($x = 0, 6$のとき)