与えられた複素数 $-\frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}$ を計算します。ここで、$j$ は虚数単位を表します。複素数の計算結果を求めます。

1. 問題の内容

与えられた複素数 $-\frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}$ を計算します。ここで、$j$ は虚数単位を表します。複素数の計算結果を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた複素数は極形式に変換することで、簡単に答えを求めることができます。複素数 $z = x + jy$ を極形式 $r e^{j\theta}$ で表すと、

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ および $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ となります。

この問題の場合、$x = -\frac{1}{2}$ および $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

まず、$r$ を計算します。

$r = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

次に、$\theta$ を計算します。

$\theta = \arctan\left(\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}\right) = \arctan(\sqrt{3})$ となります。

ただし、$x$ と $y$ が共に負なので、$\theta$ は第3象限の角となります。したがって、

$\theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ または $\theta = -\frac{2\pi}{3}$ となります。

$z = r e^{j\theta} = 1 e^{j\left(-\frac{2\pi}{3}\right)} = e^{-j\frac{2\pi}{3}} = \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + j \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)$.

$\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ と $\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$z = -\frac{1}{2} - j \frac{\sqrt{3}}{2}$となります。

複素数 $-\frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}$ は、$e^{-j\frac{2\pi}{3}}$ または $e^{j\frac{4\pi}{3}}$ と表現できます。これは、複素平面上で原点から距離1の点であり、実軸からの角度が $-\frac{2\pi}{3}$ ラジアンまたは $\frac{4\pi}{3}$ ラジアンの点です。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{-j\frac{2\pi}{3}} = e^{j\frac{4\pi}{3}}$