$a+b = 2\sqrt{5}$ および $ab = -7$ のとき、$a^2 + b^2 - 3ab$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a+b = 2\sqrt{5}$ および $ab = -7$ のとき、$a^2 + b^2 - 3ab$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a^2 + b^2$ を $(a+b)^2$ と $ab$ を用いて表すことを考えます。

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ なので、

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ となります。

したがって、

$a^2 + b^2 - 3ab = (a+b)^2 - 2ab - 3ab = (a+b)^2 - 5ab$

となります。

$a+b = 2\sqrt{5}$ なので、 $(a+b)^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20$

$ab = -7$ なので、 $-5ab = -5 \times (-7) = 35$

よって、

$a^2 + b^2 - 3ab = (a+b)^2 - 5ab = 20 + 35 = 55$

3. 最終的な答え

55