与えられた条件 $\alpha + \beta = -\frac{4}{3}$ と $\alpha \beta = \frac{2}{3}$ を用いて、以下の値を求める問題です。 (7) $\alpha^2 + \beta^2$ (8) $\alpha^3 + \beta^3$ (9) $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}$

1. 問題の内容

与えられた条件 $\alpha + \beta = -\frac{4}{3}$ と $\alpha \beta = \frac{2}{3}$ を用いて、以下の値を求める問題です。

(7) $\alpha^2 + \beta^2$

(8) $\alpha^3 + \beta^3$

(9) $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}$

2. 解き方の手順

(7) $\alpha^2 + \beta^2$ を求める。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ という恒等式を利用して、$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ と変形する。

$\alpha + \beta = -\frac{4}{3}$ と $\alpha \beta = \frac{2}{3}$ を代入する。

(8) $\alpha^3 + \beta^3$ を求める。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)$ という恒等式を利用する。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ で求めた値と $\alpha + \beta = -\frac{4}{3}$, $\alpha \beta = \frac{2}{3}$ を代入する。

(9) $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}$ を求める。

$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}$ と変形する。

$\alpha^2 + \beta^2$ は(7)で求めた値を代入し、$\alpha \beta = \frac{2}{3}$ を代入する。

(7)

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha^2 + \beta^2 = (-\frac{4}{3})^2 - 2(\frac{2}{3})$

$\alpha^2 + \beta^2 = \frac{16}{9} - \frac{4}{3} = \frac{16}{9} - \frac{12}{9} = \frac{4}{9}$

(8)

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha^2 + \beta^2) - \alpha\beta)$

$\alpha^3 + \beta^3 = (-\frac{4}{3})(\frac{4}{9} - \frac{2}{3})$

$\alpha^3 + \beta^3 = (-\frac{4}{3})(\frac{4}{9} - \frac{6}{9}) = (-\frac{4}{3})(-\frac{2}{9}) = \frac{8}{27}$

(9)

$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}$

$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2}{3}} = \frac{4}{9} \times \frac{3}{2} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(7) $\alpha^2 + \beta^2 = \frac{4}{9}$

(8) $\alpha^3 + \beta^3 = \frac{8}{27}$

(9) $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{2}{3}$