二次方程式 $3x^2 - 4x + 2 = 0$ の2つの解を$\alpha$、$\beta$とするとき、以下の値を求めます。 (5) $\alpha + \beta$ (6) $\alpha \beta$ (7) $\alpha^2 + \beta^2$ (8) $\alpha^3 + \beta^3$

1. 問題の内容

二次方程式 $3x^2 - 4x + 2 = 0$ の2つの解を$\alpha$、$\beta$とするとき、以下の値を求めます。

(5) $\alpha + \beta$

(6) $\alpha \beta$

(7) $\alpha^2 + \beta^2$

(8) $\alpha^3 + \beta^3$

2. 解き方の手順

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を$\alpha$、$\beta$とすると、解と係数の関係から、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

が成り立ちます。

(5) $\alpha + \beta$ の場合、$a = 3$, $b = -4$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{-4}{3} = \frac{4}{3}$

(6) $\alpha \beta$ の場合、$a = 3$, $c = 2$ なので、

$\alpha \beta = \frac{2}{3}$

(7) $\alpha^2 + \beta^2$ の場合、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$

$\alpha + \beta = \frac{4}{3}$、$\alpha \beta = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\frac{4}{3})^2 - 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{9} - \frac{4}{3} = \frac{16}{9} - \frac{12}{9} = \frac{4}{9}$

(8) $\alpha^3 + \beta^3$ の場合、

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha \beta)$

$\alpha + \beta = \frac{4}{3}$、$\alpha \beta = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$\alpha^3 + \beta^3 = \frac{4}{3} ((\frac{4}{3})^2 - 3 \cdot \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} (\frac{16}{9} - 2) = \frac{4}{3} (\frac{16}{9} - \frac{18}{9}) = \frac{4}{3} \cdot (-\frac{2}{9}) = -\frac{8}{27}$

3. 最終的な答え

(5) $\alpha + \beta = \frac{4}{3}$

(6) $\alpha \beta = \frac{2}{3}$

(7) $\alpha^2 + \beta^2 = \frac{4}{9}$

(8) $\alpha^3 + \beta^3 = -\frac{8}{27}$