数列 $1, 1+3, 1+3+5, ..., 1+3+5+...+(2n-1)$ の第 $k$ 項を $k$ の式で表し、この数列の和を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $1, 1+3, 1+3+5, ..., 1+3+5+...+(2n-1)$ の第 $k$ 項を $k$ の式で表し、この数列の和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、数列の第 $k$ 項 $a_k$ を求める。第 $k$ 項は $1$ から $2k-1$ までの奇数の和である。

奇数の和の公式 $\sum_{i=1}^{k} (2i-1) = k^2$ を用いると、$a_k = \sum_{i=1}^{k} (2i-1) = k^2$ となる。

次に、数列の和 $S_n$ を求める。これは、数列 $a_k = k^2$ の第 $1$ 項から第 $n$ 項までの和である。つまり、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} k^2$ である。

$\sum_{k=1}^{n} k^2$ の公式は $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ なので、

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ となる。

3. 最終的な答え

数列の第 $k$ 項: $k^2$

数列の和: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$