1, 2, 3, 4と書かれたカードがそれぞれ1枚, 3枚, 3枚, 3枚ある。合計10枚のカードから、元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数を確率変数 $X$ とする。確率変数 $X$ の確率分布を求めよ。

確率論・統計学確率確率分布確率変数条件付き確率
2025/3/29

1. 問題の内容

1, 2, 3, 4と書かれたカードがそれぞれ1枚, 3枚, 3枚, 3枚ある。合計10枚のカードから、元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数を確率変数 XX とする。確率変数 XX の確率分布を求めよ。

2. 解き方の手順

XX は偶数のカードを引く回数なので、取りうる値は0, 1, 2である。それぞれの確率を計算する。
* X=0X = 0 のとき:
2枚とも奇数のカードを引く確率。奇数のカードは1と3のカードで合計4枚。
1枚目に奇数を引く確率は 4/104/10
2枚目に残りの奇数を引く確率は 3/93/9
よって、P(X=0)=410×39=1290=215P(X=0) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}
* X=1X = 1 のとき:
1枚目に奇数、2枚目に偶数を引くか、1枚目に偶数、2枚目に奇数を引く確率。偶数のカードは2と4のカードで合計6枚。
(奇数→偶数)の確率は 410×69=2490\frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{24}{90}
(偶数→奇数)の確率は 610×49=2490\frac{6}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{90}
よって、P(X=1)=2490+2490=4890=815P(X=1) = \frac{24}{90} + \frac{24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}
* X=2X = 2 のとき:
2枚とも偶数のカードを引く確率。
1枚目に偶数を引く確率は 6/106/10
2枚目に残りの偶数を引く確率は 5/95/9
よって、P(X=2)=610×59=3090=13=515P(X=2) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3} = \frac{5}{15}
確率の合計が1になるか確認する。
215+815+515=1515=1\frac{2}{15} + \frac{8}{15} + \frac{5}{15} = \frac{15}{15} = 1

3. 最終的な答え

X: 0, 1, 2
P: 2/15, 8/15, 5/15

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