1, 2, 3, 4と書かれたカードがそれぞれ1枚, 3枚, 3枚, 3枚ある。合計10枚のカードから、元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数を確率変数 $X$ とする。確率変数 $X$ の確率分布を求めよ。

1. 問題の内容

1, 2, 3, 4と書かれたカードがそれぞれ1枚, 3枚, 3枚, 3枚ある。合計10枚のカードから、元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数を確率変数 $X$ とする。確率変数 $X$ の確率分布を求めよ。

2. 解き方の手順

$X$ は偶数のカードを引く回数なので、取りうる値は0, 1, 2である。それぞれの確率を計算する。

* $X = 0$ のとき：

2枚とも奇数のカードを引く確率。奇数のカードは1と3のカードで合計4枚。

1枚目に奇数を引く確率は $4/10$。

2枚目に残りの奇数を引く確率は $3/9$。

よって、$P(X=0) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$

* $X = 1$ のとき：

1枚目に奇数、2枚目に偶数を引くか、1枚目に偶数、2枚目に奇数を引く確率。偶数のカードは2と4のカードで合計6枚。

(奇数→偶数)の確率は $\frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{24}{90}$

(偶数→奇数)の確率は $\frac{6}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{90}$

よって、$P(X=1) = \frac{24}{90} + \frac{24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}$

* $X = 2$ のとき：

2枚とも偶数のカードを引く確率。

1枚目に偶数を引く確率は $6/10$。

2枚目に残りの偶数を引く確率は $5/9$。

よって、$P(X=2) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3} = \frac{5}{15}$

確率の合計が1になるか確認する。

$\frac{2}{15} + \frac{8}{15} + \frac{5}{15} = \frac{15}{15} = 1$

3. 最終的な答え

X: 0, 1, 2

P: 2/15, 8/15, 5/15