袋の中に赤玉2個、白玉1個、青玉1個の合計4個の玉が入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を確かめてから袋に戻すことを4回繰り返す。赤玉を取り出した回数を $m$ 回、取り出した玉の色の種類の数を $n$ 種類とする。 (1) $m=4$ となる確率を求めよ。 (2) $mn=6$ となる確率を求めよ。 (3) $mn$ の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉2個、白玉1個、青玉1個の合計4個の玉が入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を確かめてから袋に戻すことを4回繰り返す。赤玉を取り出した回数を $m$ 回、取り出した玉の色の種類の数を $n$ 種類とする。

(1) $m=4$ となる確率を求めよ。

(2) $mn=6$ となる確率を求めよ。

(3) $mn$ の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $m=4$ となるのは、4回とも赤玉を取り出す場合である。

1回の試行で赤玉を取り出す確率は $2/4 = 1/2$ である。

よって、$m=4$ となる確率は

$$(1/2)^4 = 1/16$$

(2) $mn=6$ となる場合を考える。

$m$ は取り出した赤玉の個数なので、$m=0,1,2,3,4$ のいずれかの値をとる。

$n$ は取り出した玉の色の種類の数なので、$n=1,2,3$ のいずれかの値をとる。

$mn=6$ となるのは、$(m,n) = (2,3), (3,2)$ の場合である。

(i) $(m,n) = (2,3)$ のとき

4回の試行で赤玉を2回、白玉と青玉をそれぞれ1回ずつ取り出す場合である。

取り出す順番を考慮すると、このような場合の数は

$${}_4C_2 \times 2 \times 1 = 6 \times 2 = 12$$

確率は

$$12 \times (1/2)^2 \times (1/4) \times (1/4) = 12/64 = 3/16$$

(ii) $(m,n) = (3,2)$ のとき

4回の試行で赤玉を3回、白玉または青玉を1回取り出す場合である。

赤玉を3回、白玉を1回取り出す確率は

$${}_4C_3 \times (1/2)^3 \times (1/4) = 4 \times (1/8) \times (1/4) = 4/32 = 1/8$$

赤玉を3回、青玉を1回取り出す確率は

$${}_4C_3 \times (1/2)^3 \times (1/4) = 4 \times (1/8) \times (1/4) = 4/32 = 1/8$$

よって、$(m,n) = (3,2)$ となる確率は

$$1/8 + 1/8 = 2/8 = 1/4$$

したがって、$mn=6$ となる確率は

$$3/16 + 1/4 = 3/16 + 4/16 = 7/16$$

(3) $mn$ の期待値を求める。

$m$ が取りうる値は $0,1,2,3,4$ で、$n$ が取りうる値は $1,2,3$ である。

$mn$ が取りうる値は $0,1,2,3,4,6,8,9,12$ である。

まず、$m=0$ となる確率を求める。4回とも赤玉以外を引く確率なので、

$$(1/2)^4 = 1/16$$

$m=1$ となる確率を求める。

$${}_4C_1 \times (1/2) \times (1/2)^3 = 4 \times (1/2)^4 = 4/16 = 1/4$$

$m=2$ となる確率を求める。

$${}_4C_2 \times (1/2)^2 \times (1/2)^2 = 6 \times (1/16) = 6/16 = 3/8$$

$m=3$ となる確率を求める。

$${}_4C_3 \times (1/2)^3 \times (1/2) = 4 \times (1/16) = 4/16 = 1/4$$

$m=4$ となる確率は (1) より $1/16$

$n=1$ となるのは、1色しか出ない場合。

(i) 赤玉のみが出る場合：確率は $1/16$。このとき $m=4$, $mn=4$

(ii) 白玉のみが出る場合：確率は $1/4^4 = 1/256$。このとき $m=0$, $mn=0$

(iii) 青玉のみが出る場合：確率は $1/4^4 = 1/256$。このとき $m=0$, $mn=0$

よって、$n=1$ の確率は $1/16 + 1/256 + 1/256 = 16/256 + 2/256 = 18/256 = 9/128$

$n=2$ となるのは、2色だけが出る場合。

(i) 赤と白が出る場合

(ii) 赤と青が出る場合

(iii) 白と青が出る場合

$n=3$ となるのは、3色すべてが出る場合。

赤、白、青が全て出るのは、$m=1,2,3$ の場合。

$mn$ の期待値は、各 $mn$ の値にその確率をかけて足し合わせる。

$E[mn] = 0 \times P(mn=0) + 1 \times P(mn=1) + 2 \times P(mn=2) + \dots$

$mn=6$ の確率は $7/16$ であった。

$P(m=0) = 1/16$ のとき、$n=1$ なので $mn=0$、$P(mn=0)=1/16$

$P(m=1) = 1/4$ のとき、$n=2$ なので $mn=2$、$P(mn=2)=1/4$

$P(m=2, n=1)=0$

$P(m=2, n=2)$:

$P(m=2, n=3)=3/16$

$P(m=3, n=2)=1/4$

$P(m=3, n=3)=0$

$P(m=4, n=1)=1/16$

$E[mn] = (0 \times \frac{9}{128}) + \frac{1 \times 4 \times 4*4} {4^4*1}+\dots$

この問題の期待値は難しいので、諦めます。

3. 最終的な答え

(1) 1/16

(2) 7/16

(3) 解けませんでした。